Funció de Bessel

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Les funcions de Bessel són les solucions canòniques y(x) de l'equació diferencial de Bessel:

que té com a punt singular regular x = 0 i una singularitat essencial a . El paràmetre ν és un nombre donat que es pot considerar positiu sense cap pèrdua de generalitat.

Aplicacions de la funció de Bessel[modifica | modifica el codi]

L'equació de Bessel sorgeix quan es busquen solucions separables a l'equació de Laplace i l'equació de Helmholtz en coordenades cilíndriques o esfèriques. Les funcions de Bessel són, per tant, especialment importants per molts problemes de propagació d'ones i potencials estàtics. En la resolució de problemes en sistemes de coordenades cilíndriques, s'obtenen funcions de Bessel d'ordre enter ( α = n); en problemes esfèrics, se n'obtenen d'ordre semi-enter ( α = n+1/2). Per exemple:

  • Ones electromagnètiques en una guia d'ones cilíndriques
  • Amplituds de pressió dels fluxos rotatacionals no viscosos
  • La conducció tèrmica en un objecte cilíndric
  • Modes de vibració d'una membrana acústica prima i circular (o annular) (com un tambor o un altre membranòfon)
  • Problemes de difusió en enreixats
  • Solucions de l'equació de Schrödinger radial (en coordenades esfèriques i cilíndriques) per una partícula lliure
  • Solució de patrons de radiació acústica
  • Fricció depenent de la freqüència en canoncades circulars
  • Dinàmica de cossos flotants
  • Resolució angular

Les funcions de Bessel també apareixen en altres problemes, com en el processament de senyal (per exemple, vegeu finestra de Kaiser o filtre de Bessel).

Definicions[modifica | modifica el codi]

Com que es tracta d'una equació diferencial de segon ordre, hi ha d'haver dues solucions linealment independents. Depenent de les circumstàncies, tanmateix, són convenients formulacions diverses d'aquestes solucions. En la següent taula, es resumeixen les diferents variacions, i es descriuen en les seccions següents.

Tipus Primer tipus Segon tipus
Funcions de Bessel Jα Yα
Funcions de Bessel modificades Iα Kα
Funcions de Hankel Hα(1) = Jα + iYα Hα(2) = Jα - iYα
Funcions de Bessel esfèriques jn yn
Funcions de Hankel esfèriques hn(1) = jn + iyn hn(2) = jn - iyn

Les funcions de Bessel de segon tipus i les funcions de Bessel esfèriques de segon tipus sovint s'anoten com Nn i nn, repectivament, més que no tant Yn i yn.[1][2]

Funcions de Bessel de primer tipus: Jα[modifica | modifica el codi]

Les funcions de Bessel de primer tipus, denotades com Jα(x), són solucions de l'equació diferencial de Bessel que són finites a l'origen (x = 0) per valors d'α enters o positius, i divergeixen a mesura que x tendeix a 0 per valors d' α no enters. Es pot definir la funció a través de la seva expansió en sèrie al voltant de x = 0, que es pot trobar aplicant el mètode de Frobenius a l'equació de Bessel:[3]

on Γ(z) és la funció gamma, una generalització canviada de la funció factorial per valors no enters. La funció de Bessel de primer tipus és una funció entera si α és un enter, altrament és una funció multivaluada amb singularitat en el zero. La representació gràfica de les funcions de Bessel s'assemblen força funcions sinusoïdals o cosinusoïdals que decauen proporcionalment a 1/√x (vegin-se també les seves formes asimptòtiques més endavant), tot i que les seves arrels no són generalment periòdiques, excepte asimptòticament amb valors grans d'x. (Les sèries mostren que −J1(x) és la derivada de J0(x), tal com −sin(x) és la derivada de cos(x); més generalment, la derivada de Jn(x) es pot expressar en termes de Jn±1(x) per les identitats que es mostren més endavant.)

Representació gràfica de la funció de Bessel de primer tipus, J α(x), per ordres d'enters α = 0, 1, 2

Per valors de α no enters, les funcions J α(x) i Jα(x) són linealment dependents, i són per tant les dues solucions de l'equació diferencial. D'altra banda, per α d'ordre enter, la següent relació és vàlida (noti's que la fucnió gamma té pols simples per cadascun dels enters no positius):[4]

Això significa que les dues solucions ja no són linealment independents. En aquest cas, la segona de les solucions linealment independent a la primera es troba com la funció de Bessel de segon tipus, com es comentarà més endavant.

Integrals de Bessel[modifica | modifica el codi]

Una altra definició de la funció de Bessel, per valors enters d'n, és possible mijançant l'ús de la representació integral:[5]

Una altra representació integral és::[5]

Aquesta és l'aproximació que va fer Bessel, i a partir d'aquesta definció va derivar diverses propietats de la funció. La definició es pot estendre a ordres no enteres per una de les integrals de Schläfli, per :[5]

[6][7][8][9]

Relació amb les sèries hipergeomètriques[modifica | modifica el codi]

Les funcions de Bessel es poden expressa en termes de les sèries hipergeomètriques generalitzades com:[10]

Aquesta expressió està relacionada al desenvolupament de les funcions de Bessel en termes de la funció de Bessel-Clifford.

Relació amb els polinomis de Laguerre[modifica | modifica el codi]

En termes dels polinomis de Laguerre Lk i el paràmetre elegit arbitràriament t, la funció de Bessel es pot expressar com:[11]

Funcions de Bessel de segon tipus: Yα[modifica | modifica el codi]

Les funcions de Bessel de segon tipus, anotades com Yα(x), i ocasionalment anotades com Nα(x), són solucions de l'equació diferencial de Bessel que té una singularitat a l'origen (x = 0) i són multivaluades. De vegades se les anomena funcions de Weber, ja que van ser introduïdes per H. M. Weber (1873), o també funcions de Neumann en honor a Carl Neumann.[12]

Representació gràfica de la funció de Bessel de segon tipus, Yα(x), per ordres enters α = 0, 1, 2.

Per valors d'α no enters, Yα(x) està relacionada amb Jα(x) com:

En el cas d'ordre enter n, la funció es defineix prenent el límit quan α no enter tendeix a n,

Hi ha també una fórmula integral corresponent (per Re(x) > 0),[13]

Yα(x) és necessàriament una segona solució linealment indepdendent de l'equació de Bessel quan α és un enter. Però Yα(x) pot adoptar altres significats més enllà d'aquest. Es pot considerar un company 'natural' de Jα(x). Vegeu també el subapartat de les funcions de Hankel més endavant.

Quan α és un enter, a més, com ho era similarment en el cas de funcions del primer tipus, la següent relació és vàlida:

Tant J α(x) com Y α(x) són funcions holomorfes de x en el pla complex tallat al llarg de l'eix real negatiu. Quan α és un enter, les funcions de Bessel J són funcions enteres d'x. Si x es manté constant en un valor no zero, llavors les funcions de Bessel són funcions enteres d' α.

Les funcions de Bessel del segon tipus quan α és un enter és un exemple del segon tipus de solució en el teorema de Fuchs.

Funcions de Hankel:Hα(1), Hα(2)[modifica | modifica el codi]

Funcions de Bessel modificades : Iα, Kα[modifica | modifica el codi]

Funcions de Bessel esfèriques: jn, yn[modifica | modifica el codi]

Generació de la funció[modifica | modifica el codi]

Relacions diferencials[modifica | modifica el codi]

Funcions de Hankel esfèriques:hn(1), hn(2)[modifica | modifica el codi]

Funcions de Riccati-Bessel: Sn, Cn, ξn, ζn[modifica | modifica el codi]

Funció de Bessel per a ν enter[modifica | modifica el codi]

El cas especial més habitual i important és aquell en què ν és un nombre enter; llavors ν es coneix com a l'ordre de la funció de Bessel. Les funcions de Bessel de primer ordre són les solucions de l'equació diferencial de Bessel que són finites a l'origen per a enters ν no negatius i divergeixen quan x s'aproxima a zero per a ν negatius no enters. La solució general és:

on J es defineix mitjançant la seva sèrie de Taylor al voltant de zero:

i és la funció gamma.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Weisstein, Eric W. "Spherical Bessel Function of the Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SphericalBesselFunctionoftheSecondKind.html
  2. Weisstein, Eric W. "Bessel Function of the Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheSecondKind.html
  3. Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10.
  4. Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.5.
  5. 5,0 5,1 5,2 Temme, Nico M. Special functions : an introduction to the classical functions of mathematical physics. 2. print.. New York [u.a.]: Wiley, 1996, p. 228–231. ISBN 0471113131. 
  6. Watson, p. 176
  7. http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach/math/BVtypset/node122.html
  8. http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node15.html
  9. Arfken & Weber, exercise 11.1.17.
  10. Abramowitz and Stegun, p. 362, 9.1.69.
  11. Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.
  12. http://www.mhtlab.uwaterloo.ca/courses/me755/web_chap4.pdf
  13. Watson, p. 178.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció de Bessel Modifica l'enllaç a Wikidata