Funció de Bessel

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Les funcions de Bessel són les solucions canòniques y(x) de l'equació diferencial de Bessel:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2)y = 0

que té com a punt singular regular x = 0 i una singularitat essencial a x=\infty. El paràmetre ν és un nombre donat que es pot considerar positiu sense cap pèrdua de generalitat.

Funció de Bessel per a ν enter[modifica | modifica el codi]

El cas especial més habitual i important és aquell en què ν és un nombre enter; llavors ν es coneix com a l'ordre de la funció de Bessel. Les funcions de Bessel de primer ordre són les solucions de l'equació diferencial de Bessel que són finites a l'origen per a enters ν no negatius i divergeixen quan x s'aproxima a zero per a ν negatius no enters. La solució general és:

y(x)=c_1 J_\nu(x)+c_2 J_{-\nu}(x) \,

on J es defineix mitjançant la seva sèrie de Taylor al voltant de zero:

J_\nu(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,\,\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu+2n}

i \Gamma és la funció gamma.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció de Bessel Modifica l'enllaç a Wikidata