Funció de Dirichlet

En matemàtiques, la funció de Dirichlet , anomenada així en honor al matemàtic alemany Peter Gustav Lejeune Dirichlet, és una funció matemàtica especial, que té la peculiaritat de no ser contínua en cap punt del seu domini.

Definició

Si c i d ≠ c són dos nombres reals, (normalment es prenen els valors c = 1 i d = 0), la funció de Dirichlet es defineix com:

$D(x)={\begin{cases}c&\mathrm {per\ } x\ \mathrm {racional} \\d&\mathrm {per\ } x\ \mathrm {irracional} \\\end{cases}}$$D(x)={\begin{cases}c&\mathrm {per\ } x\ \mathrm {racional} \\d&\mathrm {per\ } x\ \mathrm {irracional} \\\end{cases}}$

Analíticament, es pot representar de la següent manera:

$D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)^{2J}\right)\right)$$D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)^{2J}\right)\right)$

Aquesta funció no és contínua en cap punt del seu domini.

Enllaços externs

• Dirichlet Function - from MathWorld
• Modified Dirichlet Function per George Beck, The Wolfram Demonstrations Project .