Funció de Mertens

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La funció de Mertens es defineix com

M(n) = \sum_{k=1}^{n} \mu(k)

on μ(k) és la funció de Möbius. És a dir, és la suma acumulativa dels n primers valors de la funció de Möbius. Com els valors de la funció de Möbius són sempre -1, 0 o 1, és clar que la funció de Mertens creix lentament i no existeix cap x tal que M(x) > x. La conjectura de Mertens és més restrictiva, i afirma que no existeix cap x tal que |M(x)| sigui superior a l'arrel quadrada de x. Aquesta conjectura fou negada el 1985. Nogensmenys, la hipòtesi de Riemann, és equivalent a una versió més feble de la conjectura:

M(x) = o(x^{\frac12 + \epsilon})

La funció de Mertens és molt útil en teoria de nombres i té una relació molt directa amb la funció zeta de Riemann (i amb la localització de les seves arrels no trivials):

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n} \frac{\mu(n)}{n^s}

A continuació presentem alguns valors de la funció de Mertens

n M(n)
1 1
2 0
3 –1
4 –1
10 –1
1.000 2
2.000 5
9.000 1
10.000 –23
106 212
107 1.037