Funció de Mittag-Leffler

Funció de Mittag-Leffler

En matemàtiques, la Funció de Mittag-Leffler $E_{\alpha ,\beta }$ és una funció especial, una funció complexa que depèn de dos paràmetres complexos $\alpha$ i $\beta$. Es pot definir, de forma generalitzada, per la següent sèrie quan la part real de $\alpha$ és estrictament positiva:

$E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}$

en la que $\Gamma$ és la funció gamma i $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$.

En la seva forma especial (monoparamètrica) es defineix per la sèrie

$E_{\alpha }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}$

Quan $\alpha$ i $\beta$ són reals i positives, la sèrie és convergent per a tots els valors de l'argument $z$, per això la funció de Mittag-Leffler és una funció entera. La funció rep el nom de Gösta Mittag-Leffler que la va formular a començaments del segle xx. Aquesta mena de funcions són importants en la teoria del càlcul fraccionari i les seves aplicacions a l'estudi de les equacions diferencials i integrals.

Per a $\alpha >0$, la funció de Mittag-Leffler $E_{\alpha ,1}$ és una funció entera d'ordre $1/\alpha$ i és, en algun sentit, la més simple de les funcions enteres d'aquest ordre.

La funció de Mittag-Leffler satisfà la següent propietat recurrent

$E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha ),}}$

Casos especials

Per $\alpha =0$ trobem la suma d'una progressió geomètrica:

$E_{0,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}.$

Per $\alpha =1$ trobem una funció exponencial:

$E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).$

Per $\alpha =1/2$ trobem una funció d'error:

$E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).$

Per $\alpha =2$ trobem un cosinus hiperbòlic:

$E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).$

Per $\alpha =0,1,2$, la seva integral

$\int _{0}^{z}E_{\alpha ,1}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s$

dona, respectivament:

$\arctan(z),$

${\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z),$

$\sin(z).$

Bibliografia

• Gorenflo, Rudolf; Kilbas, Anatoly A.; Mainardi, Francesco; Rogosin, Sergei V. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications (en anglès). Springer, 2014. ISBN 978-3-662-43929-6. 
• Haubold, H.J.; Mathai, A.M.; Saxena, R.K. «Mittag-Leffler Functions and Their Applications». Journal of Applied Mathematics, Vol. 2011, 2011. DOI: 10.1155/2011/298628. ISSN: 1110-757X.
• Mathai, A.M.; Haubold, Hans J. Special Functions for Applied Scientists (en anglès). Springer, 2008. ISBN 978-0-387-75893-0. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. «Mittag-Leffler Function». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 20 desembre 2017]. (anglès)