Funció gamma múltiple

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
No s'ha de confondre amb Funció digamma ni amb Funció poligamma.

En matemàtiques, la funció gamma múltiple () és una generalització de la funció gamma d'Euler i la funció G-Barnes.

La funció gamma doble va ser estudiada per Barnes (1901). Al final d'aquest document s'esmenta l'existència de múltiples funcions gamma, que van ser generalitzades i estudiades en Barnes (1904).

La funció gamma doble () està estretament relacionada amb la funció q-gamma, i la funció gamma triple () està relacionada amb la funció gamma el·líptica.

Definició[modifica]

Per a :

on és la funció zeta de Barnes (això difereix per una constant de la definició original de Barnes).

Propietats[modifica]

Considerada com una funció meromorfa de , que no té zeros i que té els pols exactament en els valors de per a enters no negatius ,..., que són pols simples llevat que alguns d'aquests números coincideixen.

Fins a la multiplicació per l'exponencial d'un polinomi, és l'única funció meromorfa d'ordre finit amb aquests zeros i pols.

La funció de doble gamma i la teoria de camp de conformitat[modifica]

Per a i , la funció

és invariable a sota , i obeeix les relacions

Per a , té la representació integral

Per a la funció , és possible definir les dues funcions

Aquestes funcions obeeixen a les relacions

a més de les relacions que s'obtenen per .

Per a tenen representacions integrals

Les funcions i apareixen en funcions de correlació de la teoria de camp de conformitat bidimensional, amb el paràmetre estant relacionat amb la càrrega central de l'àlgebra de Virasoro subjacent. En particular, la funció de tres punts de la teoria de Liouville està escrita en funció de la funció .

Referències[modifica]

  • Barnes, E. W. «The Genesis of the Double Gamma Functions». Proc. London Math. Soc., s1-31, 1899, p. 358–381. DOI: 10.1112/plms/s1-31.1.358.
  • Barnes, E. W. «The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract]». Proceedings of the Royal Society of London. The Royal Society, 66, 1899, p. 265–268. DOI: 10.1098/rspl.1899.0101. ISSN: 0370-1662.
  • Barnes, E. W. «The Theory of the Double Gamma Function». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. The Royal Society, 196, 1901, p. 265–387. DOI: 10.1098/rsta.1901.0006. ISSN: 0264-3952.
  • Barnes, E. W. «On the theory of the multiple gamma function». Trans. Cambridge Philos. Soc., 19, 1904, p. 374–425.
  • Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon «Shintani–Barnes zeta and gamma functions». Advances in Mathematics, 187, 2, 2004, p. 362–395. DOI: 10.1016/j.aim.2003.07.020. ISSN: 0001-8708.
  • Ruijsenaars, S. N. M. «On Barnes' multiple zeta and gamma functions». Advances in Mathematics, 156, 1, 2000, p. 107–132. DOI: 10.1006/aima.2000.1946. ISSN: 0001-8708.