Funció generatriu de moments

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
(S'ha redirigit des de: Funció generadora de moments)

En Teoria de la probabilitat i Estadística, la funció generatriu de moments o funció generadora de moments d'una variable aleatòria és una funció que conté tota la informació de les propietats probabilístiques de la variable. En comparació amb la funció característica, té l'avantatge que al ser una funció real de variable real es pot treballar amb eines més elementals; però, d'altra banda, atès que hi ha variables que no tenen funció generatriu de moments, els resultats que s'obtenen són menys generals.

A més de caracteritzar la distribució de probabilitat, la funció generatriu de moments té molt bones propietats en relació amb la suma de variables aleatòries independents i amb la convergència en distribució.

Definició i exemples[modifica]

Sigui una variable aleatòria. La funció generatriu de moments (f.g.m.) de en el punt , que designarem per o per , es defineix [1][2]per

sempre que aquesta esperança sigui finita. Atès que , l'esperança anterior sempre es pot calcular, però pot donar infinit. Quan és finita en un entorn de 0 (o en un conjunt més gran que inclogui un entorn de 0), es diu que la variable aleatòria té funció generatriu de moments.

Si és discreta, que pren valors amb probabilitats , llavors,

sempre que la sèrie anterior sigui convergent.

Si és contínua amb funció de densitat , llavors,

sempre que aquesta integral sigui convergent.

Exemples[modifica]

Exemple 1. Sigui una variable aleatòria binomial . Escrivim . Llavors

que és finita per a qualsevol . Així, la f.g.m. de és

Exemple 2. Sigui una variable exponencial amb paràmetre ,amb funció de densitat
Aleshores
Així, només està definida per ; concretament, la f.g.m. és

Exemple 3. Sigui una variable aleatòria amb distribució de Cauchy amb funció de densitat
Aleshores, per qualsevol ,
Per tant, no té f.g.m.

Remarca. Tal com hem dit a la definició, sempre que es diu que una variable aleatòria té f.g.m. es sobreentén que té f.g.m. en un entorn de zero o un conjunt que contingui un entorn de zero.

Propietats[modifica]

Funció generatriu de moments d'una transformació afí d'una variable aleatòria[modifica]

Sigui una variable aleatòria amb f.g.m. en un entorn de zero , amb . Aleshores [2] la variable aleatòria

amb , té f.g.m.

Funció generatriu de moments i moments[modifica]

Aquesta propietat estableix el lligam entre la f.g.m d'una variable aleatòria i els seus moments, i d'aquí ve el nom d'aquesta funció.

Sigui una variable aleatòria amb f.g.m. en un entorn de zero , amb . Aleshores [3]

  1. La variable té moments de tots els ordres. Designarem el moment d'ordre per :
  2. La f.g.m. és infinitament diferenciable i
  3. La f.g.m. es pot desenvolupar en sèrie de MacLaurin:
  4. Més generalment [4], la f.g.m. es pot desenvolupar en sèrie de Taylor en tot punt
    on és un entorn de tal que . Es diu que és una funció analítica (real) en .


Exemple 4. Continuant amb l'exemple 2 de més amunt, una variable exponencial amb paràmetre . Havíem calculat que la f.g.m. és

Per a , tenim que , i llavors l'expressió és la suma d'una sèrie geomètrica de raó en valor absolut menor que 1:
En conseqüència, atès que el desenvolupament en sèrie de potències és únic, comparant aquesta fórmula amb la donada a la propietat 3, deduïm que els moments de són

Funció generatriu i suma de variables independents[modifica]

Siguin variables aleatòries independents, amb f.g.m. respectivament. Aleshores [2] la variable aleatòria

té f.g.m. que val

La funció generatriu de moments determina la distribució de la variable aleatòria[modifica]

Siguin i dues variables aleatòries amb f.g.m. i respectivament. Si per algun ,

aleshores i tenen la mateixa distribució de probabilitat [2] [5].

Per a la demostració, vegeu l'apartat Extensió al camp complex més avall.

Funció generatriu de moments i convergència en distribució[modifica]

Sigui una successió de variables aleatòries amb f.g.m. respectivament, definides en , per algun . Suposem que per algun ,

on és una funció (finita) definida en . Aleshores existeix una variable aleatòria tal que
que té f.g.m. i
Per a la demostració, vegeu Curtiss[5].

Una propietat important de les funcions característiques diu que si una successió de variables aleatòries convergeix en distribució a una variable aleatòria, aleshores les funcions característiques de les variables de la successió convergeixen a la funció característica del límit. Aquesta propietat no és certa en general per a funcions generatrius de moments. Curtiss [5] dóna un contraexemple.

Domini de la funció generatriu de moments[modifica]

Sigui una variable aleatòria amb f.g.m. . S'anomena domini de la f.g.m.[4], i es designa per , al conjunt

El conjunt és un interval, finit o infinit, que conté el 0.

En efecte, en primer lloc, com que per , , tenim que . Ara, si , i prenem , per la desigualtat de Hölder amb i tenim que

Per tant, . D'on es dedueix que ha de ser un interval.

Extensió al camp complex. La transformada de Laplace[modifica]

Recordem que una variable aleatòria a valors complexos és una expressió de la forma

on i són variables aleatòries ordinàries. Si ambdues i tenen esperança, aleshores es defineix l'esperança de per
Designem per el mòdul d'un nombre complex , llavors, la condició per tal que tingui esperança és ja que

Sigui una variable aleatòria. S'anomena transformada de Laplace [4][5] de en el punt a

sempre que aquesta esperança existeixi, és a dir,
Cal notar que si té funció de densitat , aleshores
que és la transformada de Laplace bilateral ordinària de la funció , a part del signe de l'exponent, que en probabilitats es pren positiu per coherència amb les altres notacions. En el cas general, si té funció de distribució , llavors
on la integral de la dreta és una integral de Lebesgue-Stieltjes, i que és la transformada de Laplace bilateral clàssica (excepte el signe de l'exponent); per les propietats de la transformada de Laplace en aquest context general veieu el clàssic llibre de Widder [7].

Exemple 5. Continuem amb la distribució exponencial de paràmetre de l'exemple 2. Llavors

i la integral de la dreta és la transformada de Laplace clàssica de la funció en el punt . Llavor s'obté (veieu [8] per al càlcul d'aquesta transformada de Laplace)
on és la part real del nombre complex .

Domini de la transformada de Laplace

Figura 2. Franja del pla complex (en verd).

Sigui . Llavors,

on hem utilitzat la fórmula d'Euler,
per deduir que el número complex està sobre la circumferència unitat i, per tant, té mòdul 1.

Retornant a la transformada de Laplace, tenim que

Llavors, si designem per el domini de la transformada de Laplace:
tindrem que

Llavors, si, per exemple, amb , serà la franja del pla complex formada per tals que , la qual inclourà l'eix imaginari , vegeu la Figura 2.

Relacions entre la funció generatriu de moments, la transformada de Laplace i la funció característica.

Sigui una variable aleatòria amb funció generatriu de moments en per a . Tal com hem comentat, la transformada de Laplace existirà en la franja i, òbviament,

D'altra banda, si designem per la funció característica de ,
atès que , tindrem que

Cas vectorial[modifica]

Tots els resultats anteriors s'estenen al cas vectorial de la següent manera. Sigui un vector aleatori. La funció

definida en aquells punts on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments [10] de . Quan està definida en un entorn de , es diu que el vector aleatori té funció generatriu de moments.

Remarcarem les tres propietats següents que són especialment útils:

Unicitat.[11] Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de , aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.

Independència.[11] Siguin i dos vectors aleatoris tal que el vector té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores són independents si i només si

Moments.[10] Si un vector aleatori té funció generatriu de moments en un entorn de , aleshores té moments de tots els ordres i

Vegeu uns exemples a la secció següent.

Funció generatriu de moments i funcions característiques d'algunes distribucions importants[modifica]

Distribució Funció generatriu de moments Funció característica
Degenerada
Bernoulli
Geomètrica (Vegeu nota (1))
Binomial
Binomial negativa
Poisson
Uniforme (contínua)
Uniforme discreta ,
Laplace
Normal
Khi quadrat
Khi quadrat no central
Gamma
Exponential
Beta (vegeu Sèrie hipergeomètrica)
Cauchy No existeix
Normal multivariable

(Vegeu nota (2))

Multinomial
Cauchy multivariable (Vegeu notes (2) i (3))

No existeix

Notes

(1) Distribució geomètrica relativa al número de proves fins al primer èxit, inclòs aquest, amb probabilitat d'èxit .
(2) El vectors estan escrits en columna i designa el transposat del vector
(3) Distribució de Cauchy multivariable, d'acord amb la definició de distribució multivariable de Kotz and Naradajah [12] amb nombre de graus de llibertat . La funció característica s'obté aplicant la fórmula del final de la pàgina 37 de la referència anterior a aquest cas.


Referències[modifica]

  1. Sanz i Solé, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 118. ISBN 84-8338-091-9. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Degroot, Morris H. Probabilidad y Estadística. 2a. edición. Mèxico: Addison-Wesley Iberoamericana, 1988, p. 190-194. ISBN 0-201-64405-3. 
  3. Athreya, Krishna Balasundaram; Lahiri, Soumendra Nath. Measure theory and probability theory. New York: Springer, 2006, p. 194-196. ISBN 978-0-387-32903-1. 
  4. 4,0 4,1 4,2 Hoffmann Jørgensen, Jørgen. Probability with a view toward statistics. 1. Boca Raton: CRC Press, 2003, p. 283-284. ISBN 978-0-412-05221-7. 
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 Curtiss, J. H. «A Note on the Theory of Moment Generating Functions» (en anglès). The Annals of Mathematical Statistics, 13, 4, 1942-12, pàg. 430–433. DOI: 10.1214/aoms/1177731541. ISSN: 0003-4851.
  6. Nadarajah, Saralees «Making the Cauchy work». Brazilian Journal of Probability and Statistics, 25, 1, 2011, pàg. 99–120. ISSN: 0103-0752.
  7. Widder, D. V.. The Laplace Transform. London: Princeton University Press, 1946. 
  8. Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. Basic complex analysis. 2. ed., 9. pr. New York: Freeman, 1997, p. 527. ISBN 978-0-7167-1814-7. 
  9. Carrier, George F.; Krook, Max; Pearson, Carl E. Functions of a complex variable: theory and technique. Philadelphia (Pa.): SIAM, 2005, p. 65. ISBN 978-0-89871-595-8. 
  10. 10,0 10,1 Athreya, Krishna B. Measure theory and probability theory. Nova York: Springer, 2006, p. 198-199. ISBN 0-387-32903-X. 
  11. 11,0 11,1 Seber, George Arthur Frederick; Lee, Alan J. Linear regression analysis. 2nd ed. Hoboken (N.J.): J. Wiley, 2003, p. 13-14. ISBN 978-0-471-41540-4. 
  12. Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees. Multivariate T-Distributions and Their Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2004, p. 1. DOI 10.1017/cbo9780511550683. ISBN 978-0-521-82654-9.