Funció generadora de moments

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En probabilitat i estadística, la funció generadora de moments o funció generatriu de moments d'una variable aleatòria X és

sempre que aquesta esperança existeixi.

La funció generadora de moments es diu així perquè, si existeix en un entorn de t = 0, permet generar els moments de la distribució de probabilitat :

Si la funció generadora de moments està definida en aquest interval, llavors determina unívocament la distribució de probabilitat.

Un problema clau amb les funcions generadores de moments és que els moments i la mateixa funció generadora no sempre existeixen, perquè les integrals que els defineixen no són sempre convergents. Per contra, la funció característica sempre existeix i pot usar-se al seu lloc.

De forma general, on és un vector aleatori n -dimensional, es fa servir en comptes de :

Càlcul[modifica | modifica el codi]

Si X té una funció de densitat contínua, f ( x ), llavors la funció generadora de moments ve donada per

on és el i -èsim moment. és, precisament, la transformada bilateral de Laplace de f ( x ).

Independentment que la distribució de probabilitat sigui contínua o no, la funció generadora de moments ve donada per la integral de Riemann-Stieltjes

on F és la funció de distribució.

Si X 1 , X 2 , ..., X n és una seqüència de variables aleatòries independents (i no necessàriament idènticament distribuïdes) i

on les a i són constants, llavors la funció de densitat de S n és la convolució de la funció de densitat de cada una de les X i i la funció generadora de moments per S n ve donada per


Per variables aleatòries multidimensionals X amb components reals, la funció generadora de moments ve donada per

on és un vector de i és el producte escalar de t i X.

Relació amb altres funcions[modifica | modifica el codi]

Hi ha una sèrie de transformades relacionades amb la funció generadora de moments que són comuns en la teoria de probabilitats:

Funció característica
La funció característica està relacionada amb la funció generadora de moments via La funció característica és la funció generadora de moments de iX o la funció generadora de moments de X avaluada en l'eix imaginari.
Funció generadora acumulada
La funció generadora acumulada està definida com el logaritme de la funció generadora de moments; hi ha qui defineix la funció generadora acumulada com el logaritme de la funció característica, mentre que altres anomenen aquesta funció la 2 funció generadora acumulada.
Funció generadora de probabilitat

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]