Funció harmònica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una funció harmònica és una funció dues vegades contínuament derivable f: DR (on D és un subconjunt obert de Rn) que compleix l'equació de Laplace, és a dir


\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}+
\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2}+
\cdots+
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2}= 0

en D. Això se sol escriure com

\nabla^2 f = 0 o també com a \ \Delta f = 0.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Exemples de funcions harmòniques de dues variables[modifica | modifica el codi]

Definida a R2\{0 "(per exemple el potencial elèctric a causa d'una càrrega en línia, i el potencial gravitatori a causa d'una massa cilíndrica)
  • Si o és una funció harmònica i li apliquem una transformació acord del pla, continua sent harmònica.

Exemples de funcions harmòniques de n variables[modifica | modifica el codi]

Connexions amb l'anàlisi de funcions complexes de variable complexa[modifica | modifica el codi]

La part real i imaginària de qualsevol funció holomorfa són funcions harmòniques. Això es deriva de que tota funció holomorfa verifica les equacions de Cauchy-Riemann. En aquest cas es diu que són harmòniques conjugades.

Propietats de les funcions harmòniques[modifica | modifica el codi]

Algunes propietats importants de les funcions harmòniques es poden deduir de l'equació de Laplace.

El teorema de regularitat per a les funcions harmòniques[modifica | modifica el codi]

Les funcions harmòniques són infinitament derivables. De fet, són funcions analítiques.

El principi del màxim[modifica | modifica el codi]

Les funcions harmòniques satisfan el següent principi del màxim (conegut com el principi feble del màxim): si K és qualsevol subconjunt compacte de D, llavors f, a K, arriba a les seves màxim i mínim a la frontera de K.

Si a més D és connex, f no pot tenir màxims o mínims locals, excepte si f és constant (conegut com el principi fort del màxim).

El teorema de la mitjana aritmètica[modifica | modifica el codi]

El teorema rep altres noms com propietat de la mitjana de les funcions harmòniques. Estableix que si tenim una funció harmònica definida en una bola, podem determinar el valor de la funció en el centre de la bola a partir de la mitjana dels valors de la funció a la superfície. És més:

Si  B (x, r) és una bola de centre x i radi r continguda completament en D, llavors el valor de f(x) al centre de la bola està donat pel valor mitjà de f en la superfície de la bola; aquest valor mitjà és també igual al valor mitjà de f a l'interior de la bola. En altres paraules


 u (x) =\frac{1}{\omega_n r^{n-1}}\oint_{\partial B (x, r)}o\, dS
 =\frac{n}{\omega_n r^n}\int_{B (x, r)}o\, dV

on \omega_n és l'àrea de la superfície de la bola unitat En n dimensions.

El teorema de Liouville[modifica | modifica el codi]

Si f és una funció harmònica definida a tot Rn que està fitada superior o inferiorment, aleshores f és constant (compareu amb el Teorema de Liouville per a funcions d'una variable complexa).


Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
  • D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
  • Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society.


Enllaços externs[modifica | modifica el codi]