Funció homogènia

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Suposem una funció la definició de la qual és  f: V \rarr W entre dos espais vectorials sobre el mateix cos  F . Llavors es diu que  f \, és homogènia de grau k si:

 f (\alpha \mathbf{v}) = \alpha^kf (\mathbf{v}), \qquad \forall \alpha \in F \ne 0, \quad
\forall \mathbf{v}\in V

Exemples[modifica | modifica el codi]

Les funcions lineals[modifica | modifica el codi]

Qualsevol funció lineal  f: V \rarr W \, és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:

 f (\alpha \mathbf{v}) = \alpha f (\mathbf{v})

per a tot  \alpha \isin F i  \mathbf{v}\isin V \qquad \qquad . De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal  f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad \qquad és homogènia de grau n, per definició.

 f (\alpha \mathbf{v}_1, \ldots, \alpha \mathbf{v}_n) = \alpha^nf (\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n)

per a tot  \alpha \isin F i  \mathbf{v}_1 \isin V_1, \ldots, \mathbf{v}_n \isin V_n . Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció  f: X \rightarrow Y entre dos espais de Banach  X \, i  Y\, és homogènia de grau n.

Polinomis homogenis[modifica | modifica el codi]

Els monomis en  n variables reals defineixen funcions homogènies  f: \mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}. Per exemple,

 f (x, y, z) = x^5y^2z^3 \,

és homogènia de grau 10 ja que:

 (\alpha x)^5 (\alpha y)^2 (\alpha z)^3 = \alpha^{10}x^5y^2z^3 \,

Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,

 x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4 \,

és un polinomi homogeni de grau 5.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Suposem que una funció  f: \mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R} és infinitament diferenciable. Llavors f és homogènia de grau k si i només si:

 \mathbf{x}\cdot \nabla f (\mathbf{x}) = kf (\mathbf{x}) \qquad \qquad .

  • Suposem que  f: \mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R} és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre  \partial f/\partial x_i són funcions homogènies de grau k-1.

Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu  f = f (x_1, \ldots, x_n) i es pren l'equació

 f (\alpha \mathbf{y}) = \alpha^kf (\mathbf{y})

Definint  x_i = \alpha y_i \, i derivant respecte a  y_i \, , trobem per la regla de la cadena que:

 \frac{\partial}{\partial x_i}f (\alpha \mathbf{y}) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(\alpha y_i) = \alpha^k \frac{\partial}{\partial x_i}f (\mathbf{y}) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(y_i)

I per tant:

 \alpha \frac{\partial}{\partial x_i}f (\alpha \mathbf{y}) = \alpha^k \frac{\partial}{\partial x_i}f (\mathbf{y})

I finalment:

 \frac{\partial}{\partial x_i}f (\alpha \mathbf{y}) = \alpha^{k-1}\frac{\partial}{\partial x_i}f (\mathbf{y})

Aplicació a les EDOs[modifica | modifica el codi]

Si  I \, i  J \, són funcions homogènies del mateix grau, la substitució  v = y/x converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)

 I(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,

en l'equació diferencial separable:

 x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}= - \frac{J (1, v)}{I (1, v)}-v

Referències[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Blatter, Christian. «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». A: Analysis II (2nd ed.) (en alemany). Springer Verlag, 1979, p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]