Funció homogènia

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Suposem una funció la definició de la qual és entre dos espais vectorials sobre el mateix cos . Llavors es diu que és homogènia de grau k si:

Exemples[modifica | modifica el codi]

Les funcions lineals[modifica | modifica el codi]

Qualsevol funció lineal és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:

per a tot i . De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal és homogènia de grau n, per definició.

per a tot i . Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció entre dos espais de Banach i és homogènia de grau n.

Polinomis homogenis[modifica | modifica el codi]

Els monomis en variables reals defineixen funcions homogènies . Per exemple,

és homogènia de grau 10, ja que:

Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,

és un polinomi homogeni de grau 5.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Suposem que una funció és infinitament diferenciable. Llavors f és homogènia de grau k si i només si:

.

  • Suposem que és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre són funcions homogènies de grau k-1.

Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu i es pren l'equació

Definint i derivant respecte a , trobem per la regla de la cadena que:

I per tant:

I finalment:

Aplicació a les EDOs[modifica | modifica el codi]

Si i són funcions homogènies del mateix grau, la substitució converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)

en l'equació diferencial separable:

Referències[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Blatter, Christian. «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». A: Analysis II (2nd ed.) (en alemany). Springer Verlag, 1979, p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]