En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).
Suposem una funció la definició de la qual és
entre dos espais vectorials sobre el mateix cos
. Llavors es diu que
és homogènia de grau k si:
Qualsevol funció lineal
és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:
per a tot
i
. De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal
és homogènia de grau n, per definició.
per a tot
i
. Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció
entre dos espais de Banach
i
és homogènia de grau n.
Els monomis en
variables reals defineixen funcions homogènies
. Per exemple,
és homogènia de grau 10, ja que:
Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,
és un polinomi homogeni de grau 5.
Suposem que una funció és infinitament diferenciable. Llavors f és homogènia de grau k si i només si:
.
|
- Suposem que
és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre
són funcions homogènies de grau k-1.
Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu
i es pren l'equació
Definint
i derivant respecte a
, trobem per la regla de la cadena que:
I per tant:
I finalment:
Si
i
són funcions homogènies del mateix grau, la substitució
converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)
en l'equació diferencial separable:
- Blatter, Christian. «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». A: Analysis II (2nd ed.) (en alemany). Springer Verlag, 1979, p. 188. ISBN 3-540-09484-9.