Funció logarítmica convexa

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, una funció definida en un subconjunt convex d'un espai vectorial real i prenent valors positius es diu que és logarítmicament convexa o superconvexa[1] si la composició de la funció logarítmica amb , , és una funció convexa; el logaritme retarda dràsticament el creixement de la funció original , de manera que si la composició encara conserva la propietat de convexitat això significa que la funció original era «realment convexa», d'aquí el terme «superconvexa».

Una funció logarítmica convexa és una funció convexa ja que és el compost de la funció convexa creixent i de la funció , que se suposa que és convex. Però això no sempre és cert: per exemple és una funció convexa, però no és una funció convexa i, per tant, no és logarítmicament convexa. Per altra banda, és logarítmicament convexa només si és convexa.

Un exemple important d'una funció logarítmica convexa és la funció gamma en els reals positius (vegeu també el teorema de Bohr-Mollerup).

Definició formal[modifica]

Sigui un interval real i . Es diu que és logarítmicament convexa si, per a tots els punts de i tot , existeix la desigualtat següent:

,

o encara, prenent l'exponencial:

.

Igualment, és logarítmicament convexa si per a tot l'interval no trivial , els reals determinats per verifiquen:

.

Exemples[modifica]

Una caracterització[modifica]

és logarítmicament convexa si, i només si, per a tot , l'aplicació és convexa.

Fixem un interval no trivial i demostrem, per a tot , l'equivalència , on els predicats tradueixen la convexitat logarítmica de i la convexitat de per a tot  :

,

els reals estan determinats per

  • perquè i .
  • perquè si llavors, per a tot , , perquè és convexa i coincideix amb als punts et .

Propietats[modifica]

  • Tota funció logarítmicament convexa és convexa. En la funció inversa és fals, tal com mostra el contraexemple clàssic de la funció xx2.
  • La suma i el producte de dues funcions logarítmicament convexes són logarítmicament convexes. Aquestes dues propietats es dedueixen del fet que la suma de dues funcions convexes és convexa, usant l' equació funcional logarítmica per a l'estabilitat del producte i la caracterització anterior per a l'estabilitat de la suma.[3]

Generalització a les funcions d'una variable vectorial[modifica]

Sigui un espai vectorial real un convex de . Una aplicació s'anomena logarítmicament convexa si és convexa sobre C.

Les dues propietats anteriors s'estenen immediatament a aquest marc, ja que una funció és convexa sobre si, i només si, la seva «restricció» a tot el segment és una funció convexa de la variable real t ∈ [0, 1].

De la mateixa manera, és fàcil deduir de la caracterització anterior que una aplicació és logarítmicament convexa sobre est si, i només si, per a tota forma lineal sobre , l'aplicació és convexa.[4]

Referències[modifica]

  1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
  2. Per a una generalització, vegeu Artin 2015, p. 10, teorema 1.9.
  3. Per a una altra demostració d'estabilitat per suma, vegeu Artin 2015, p. 8-9, teorema 1.8.
  4. Demostrat sota suposicions addicionals a Hiriart-Urruty 2009, p. 30-31, exercici I.15.

Bibliografia[modifica]

  • Artin, Emil. The Gamma function (en anglès). Dover, 2015. 
  • Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (en anglès). Cambridge University Press, 2004, p. 104-108. 
  • Gourdon, Xavier. Les maths en tête (Maths pour M') : Analyse (en francès). Éditions Ellipses, 2008. ISBN 978-2-72983759-4. 
  • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste. Optimisation et analyse convexe (en francès). EDP Sciences, 2009. 

Vegeu també[modifica]