Funció zeta d'Airy

En matemàtiques, la funció zeta d'Airy, estudiada per Crandall (1996), és una funció anàloga a la funció zeta de Riemann i relacionada amb els zeros de la funció d'Airy.

Definició

Funcions d'Airy
$Ai(x)$ (vermell) i $Bi(x)$ (blau)

La funció d'Airy

$\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\,dt,$

és positiva per a $x$ positius, però oscil·la per a valors negatius de $x$; la seqüència de valors de $x$ per als quals $Ai(x)=0$, classificada pels seus valors absoluts, són anomenats els zeros Airy i es denoten a₁, a₂, ...

La funció zeta d'Airy és la funció definida a partir d'aquesta seqüència de zeros per la sèrie

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}}}.$

Aquesta sèrie convergeix quan la part real de $s$ és més gran que 3/2, i es pot estendre per continuació analítica a altres valors de $s$.

Avaluació en nombres enters

Igual que la funció zeta de Riemann, on el valor $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ és la solució al problema de Basilea, la funció zeta d'Airy es pot avaluar exactament en $s=2$:

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}}}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3}})}{4\pi ^{2}}},$

on Γ és la funció gamma, una variant contínua del factorial. També són possibles avaluacions similars per als valors sencers més grans de $s$.

Es conjectura que la prolongació analítica de la funció zeta d'Airy avaluat en 1 és

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(1)={\frac {-3^{-2/3}\Gamma ({\frac {2}{3}})}{\Gamma ({\frac {4}{3}})}}.$

Referències

• Crandall, Richard E. «On the quantum zeta function». Journal of Physics. A. Mathematical and General, 29, 21, 1996, p. 6795–6816. DOI: 10.1088/0305-4470/29/21/014. ISSN: 0305-4470.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Airy Zeta Function» a MathWorld (en anglès).