Funció zeta de Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La funció zeta de Riemann ζ(s) és una funció de variable complexa s definida, per a qualsevol s amb part real > 1, per

és a dir, és la sèrie de Dirichlet amb a = 1. Quan la part real de s és superior a 1, aquesta sèrie és convergent. Bernhard Riemann demostrà que la funció es pot estendre a una funció holomorfa definida per a tots els nombres complexos s amb s ≠ 1. Aquesta és la funció a la que es refereix la hipòtesi de Riemann i té una importància cabdal en teoria de nombres (especialment per la seva relació amb els nombres primers) i en diversos camps de la Física.

Alguns valors de ζ(s) per als primers nombres enters són:


; que és la sèrie harmònica.
; la sèrie objecte del problema de Basilea.
; anomenada constant d'Apéry


Relació amb els nombres primers[modifica | modifica el codi]

La relació d'aquesta funció amb els nombres primers fou descoberta per Leonhard Euler, que trobà

és a dir, que la funció zeta és igual a un producte infinit estès a tots els nombres primers p. En realitat, aquest resultat és conseqüència de la fórmula d'una sèrie geomètrica i del teorema fonamental de l'aritmètica.

Però a més, els zeros (o arrels) de la funció zeta, els punts on ζ(s) = 0, tenen una gran importància, perquè determinades integrals de camí que utilitzen la funció ln(1/ζ(s)) es poden fer servir per aproximar la funció de recompte de nombres primers, π(x)

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció zeta de Riemann Modifica l'enllaç a Wikidata