Funció zeta de Ruelle

En matemàtiques, la funció zeta de Ruelle és una funció zeta associada a un sistema dinàmic.

Definició

Sigui f una funció definida en una varietat M, de tal manera que el conjunt de punts fixos Fix(f ⁿ) és finit per a tot n> 1. A més fem que φ sigui una funció de M amb valors en d × d matrius complexes. La funció zeta de la primera classe és

$\zeta (z)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {z^{m}}{m}}\sum _{x\in \mathrm {Fix} (f^{m})}\mathrm {Tr} \left({\prod _{k=0}^{m-1}\phi (f^{k}(x))}\right)}\right)$

Exemples

En el cas especial d = 1, φ = 1, tenim

$\zeta (z)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {z^{m}}{m}}\left|{\mathrm {Fix} (f^{m})}\right|}\right)$

que és la funció zeta d'Artin-Mazur.

La funció zeta d'Ihara és un exemple d'una funció zeta de Ruelle.

Bibliografia

• Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel. Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings. Nova York, NY: Springer-Verlag, 2006. ISBN 0-387-33285-5. 

• Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu «Zeta functions of finite graphs». J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 7, 2000, pàg. 7-25.

• Terras, Audrey. Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden. 128. Cambridge University Press, 2010. ISBN 0-521-11367-9.