Geometria del taxista

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca
Distància de Manhattan contra distància Euclidiana: Les línias vermella, blava i groga tenen la mateixa longitud (12) en les geometries Euclidiana i del taxista. En la geometria euclidiana, la línia verda té una longitud igual a, i és l'únic camí més curt.

La geometria del taxista, també coneguda com a mètrica del taxista o distància de Manhattan, és una forma de geometria on es reemplacen aspectes propis de la geometria euclidiana. Així per anar d'un punt a un altre només es pot seguir la direcció vertical o horitzontal, en la qual la funció de distància entre dos punts és la suma de les diferències absolutes de la seva coordenades cartesianes.

Aquest concepte va ser considerat per l'alemany Hermann Minkowski al segle xix. Es coneix també com distància rectilínia, distància L1 o norma (veure espai Lp), o l'esmentada distància de Manhattan, amb les corresponents variacions del nom de la geometria.[1] Aquesta darrera denominació fa referència a la quadrícula de la majoria dels carrers de l'illa de Manhattan (o de l'eixample de Barcelona), i que fa que el camí més curt que un taxi ha de recórrer entre dos punts de la ciutat no sigui la distància euclidiana.[2]

Descripció[modifica]

La distància de Manhattan entre dos vectors  en un espai vectorial real n-dimensional i amb un sistema de coordenades cartesianes fix és la suma de les longituds de les projeccions del segment de línia entre els punts sobre el sistema d’eixos coordinats. Mas formalment,

on i són vectors.

Per exemple, en el pla, la distància de Manhattan entre i és:

La distància de Manhattan depèn de la rotació del sistema de coordenades, però no depèn de la seva reflexió sobre un eix coordinat o la seva translació. La geometria del taxista satisfà tots els axiomes de Hilbert, ja que es poden generar dos triangles amb dos costats cadascú i l'angle entre ells iguals i que no siguin congruents.

Cercles en la geometria del taxista[modifica]

Cercles en la geometria del taxista discreta i continua

Un cercle és un conjunt de punts amb una distància fixa a un punt denominat centre i que hom anomena radi. En la geometria del taxista la distància és determinada per una mètrica diferent a la de la geometria euclidiana, i la forma dels cercles també és diferent. En la geometria del taxista els cercles són quadrats amb els costats orientats en un angle de 45° amb els eixos coordinats. La imatge a l'esquerra mostra per què és així, indicant en vermell el conjunt de tots els punts amb una distància fixe a un centre indicat en blau.

Quan la mida dels blocs de la ciutat disminueix, els punts es tornen més nombrosos i esdevenen un quadrat girat en una geometria del taxista continua. Mentre que cada costat tindria una longitud √2r emprant una mètrica euclidiana, on r és el radi del cercle, la seva longitud en la geometria del taxista és 2r. Així doncs la longitud de la circumferència és 8r.

La fórmula per a un cercle unitari en la geometria del taxista és en coordenades cartesianes i   en coordenades polars.

En un pla, un cercle de radi r segons la distància de Chebyshev (L) també és un quadrat amb costats de longitud 2r i paral·lels als eixos de coordenades. Així la distància planar de Chebyshev es pot considerar equivalent, per rotació i escalat, a la distància planar del taxista. Ara bé, aquesta equivalència entre les mètriques L1 y L no es compleix en dimensions majors.

L'ús de la distància de Manhattan introdueix un concepte estrany: quan la resolució de la geometria del taxista és molt gran, apropant-se a l'infinit (la mida de la divisió dels eixos s’aproxima a zero), sembla intuïtiu que la distància de Manhattan s'aproparia a la mètrica euclidiana () però no és així. Això és, essencialment, una conseqüència del fet d’estar forçat a moure’s sobre un únic eix. Quan es segueix la mètrica de Manhattan, un no es pot moure diagonalment (en més d’un eix simultàniament).

Mesura de distàncies en els escacs[modifica]

En els escacs, la distància entre quadrats al tauler per a les torres es mesura amb la distància de Manhattan; reis i reines usen la distància de Chebyshev, i els alfils usen la distància de Manhattan (entre quadrats del mateix color) al tauler rotat en 45 graus, és a dir, amb les seves diagonals com a eixos coordenats. Per anar d'un quadrat a un altre solament els reis i les reines requereixen tants moviments com el valor de la distància; torres i alfils requereixen un o dos moviments (en un tauler buit, i assumint en el cas de l'alfil que el moviment és possible).

Vegeu també[modifica]

Altres enllaços[modifica]

Referències[modifica]

  1. «Manhattan distance». NIST. [Consulta: 11 novembre 2015].
  2. Krause, E. F. Taxicab Geometry. New York: Dover Pub., 1987. ISBN 0-486-25202-7.