Gravetat terrestre

Gravetat terrestre mesurada per la missió GRACE de la NASA, que mostra desviacions de la gravetat teòrica d'una Terra idealitzada i llisa, l'anomenada el·lipsoide terrestre. El vermell mostra les zones on la gravetat és més forta que el valor estàndard llis, i el blau revela les zones on la gravetat és més feble.

La gravetat de la Terra, denotada per g, és l'acceleració neta que s'imparteix als objectes a causa de l'efecte combinat de la gravitació (de la distribució de massa dins de la Terra) i la força centrífuga (de la rotació de la Terra). És una quantitat vectorial, la direcció de la qual coincideix amb una plomada i la força o magnitud ve donada per la norma. $g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|$.

En unitats SI, aquesta acceleració s'expressa en metres per segon al quadrat (en símbols, m/s² o m·s⁻² ) o equivalentment en newtons per quilogram (N/kg o N·kg⁻¹). Prop de la superfície de la Terra, l'acceleració deguda a la gravetat, amb una precisió de 2 xifres significatives, és 9.8 m/s² (32 ft/s²). Això significa que, ignorant els efectes de la resistència de l'aire, el component vertical de la velocitat d'un objecte que cau lliurement augmentarà en direcció descendent uns 9.8 metres per segon (32 ft/s) cada segon.

La força precisa de la gravetat terrestre varia segons la ubicació. El valor convencional per a standard gravity és 9.80665 m⋅s⁻² per definició, adoptada originalment per la CGPM el 1901.: 159 Aquesta quantitat es denota de diverses maneres com g_n, g_e g₀ simplement g (que també s'utilitza per a la variable valor local).

El pes d'un objecte a la superfície de la Terra és la força cap avall sobre aquest objecte, donada per la segona llei del moviment de Newton, o F = m a ( força = massa × acceleració). L'acceleració gravitatòria contribueix a l'acceleració total de la gravetat, però altres factors, com ara la rotació de la Terra, també hi contribueixen i, per tant, afecten el pes de l'objecte. La gravetat normalment no inclou l'atracció gravitatòria de la Lluna i el Sol, que es tenen en compte en termes d'efectes de marea.

Variació de magnitud

Una esfera perfecta no giratòria amb una densitat de massa uniforme, o la densitat de la qual varia únicament amb la distància al centre (simetria esfèrica), produiria un camp gravitatori de magnitud uniforme en tots els punts de la seva superfície. La Terra està girant i tampoc és esfèricament simètrica; més aviat, és lleugerament més plana als pols mentre que s'infla a l'equador: un esferoide aixatat. En conseqüència, hi ha lleugeres desviacions en la magnitud de la gravetat a través de la seva superfície.

La gravetat a la superfície de la Terra varia al voltant d'un 0,7%, des del 9,7639 m/s² a la muntanya Nevado Huascarán al Perú fins a 9.8337 m/s² a la superfície de l'oceà Àrtic. A les grans ciutats, oscil·la entre 9,7806 m/s² a Kuala Lumpur, Ciutat de Mèxic i Singapur fins a 9,825 m/s² a Oslo i Hèlsinki .

Valor convencional

El 1901, la tercera Conferència General de Pesos i Mesures va definir una acceleració gravitacional estàndard per a la superfície de la Terra: g_n = 9.80665 m/ s². Es basava en mesures al Pavillon de Breteuil, prop de París, el 1888, amb una correcció teòrica aplicada per convertir a una latitud de 45° al nivell del mar. Aquesta definició, per tant, no és un valor de cap lloc en particular ni una mitjana calculada acuradament, sinó un acord per a un valor a utilitzar si no es coneix o no és important un valor local real millor. També s'utilitza per definir les unitats quilogram força i lliura força.

Latitud

Les diferències de la gravetat terrestre al voltant del continent antàrtic.

La superfície de la Terra està girant, per tant no és un marc de referència inercial. A latituds més properes a l'equador, la força centrífuga cap a l'exterior produïda per la rotació de la Terra és més gran que a latituds polars. Això contraresta la gravetat de la Terra en un petit grau, fins a un màxim del 0,3% a l'equador, i redueix l'acceleració aparent cap avall dels objectes que cauen.

La segona raó principal de la diferència de gravetat a diferents latituds és que la protuberància equatorial de la Terra (també causada per la força centrífuga de la rotació) fa que els objectes a l'equador estiguin més allunyats del centre del planeta que els objectes als pols. La força deguda a l'atracció gravitatòria entre dues masses (un tros de la Terra i l'objecte que es pesa) varia inversament amb el quadrat de la distància entre elles. La distribució de la massa també és diferent per sota d'algú a l'equador i per sota d'algú a un pol. El resultat net és que un objecte a l'equador experimenta una atracció gravitatòria més feble que un objecte en un dels pols.

En combinació, el protuberància equatorial i els efectes de la força centrífuga superficial a causa de la rotació fan que la gravetat al nivell del mar augmenti d'aproximadament 9,780 m/^s² a l'equador fins a uns 9,832 m/s² als pols, de manera que un objecte pesarà aproximadament un 0,5% més als pols que a l'equador.

Altitud

Gravetat de la Terra vs. distància des de la superfície fins a 30.000 km

La gravetat disminueix amb l'altitud a mesura que hom s'eleva per sobre de la superfície de la Terra, ja que una altitud més gran significa una distància més gran del centre de la Terra. Si totes les altres coses es mantenen iguals, un augment de l'altitud des del nivell del mar fins als 9,000 metres (30,000 ft) provoca una disminució de pes d'aproximadament un 0,29%. Un factor addicional que afecta el pes aparent és la disminució de la densitat de l'aire a altitud, que disminueix la flotabilitat d'un objecte. Això augmentaria el pes aparent d'una persona a una altitud de 9.000 metres en aproximadament un 0,08%.

És una idea errònia generalitzada que els astronautes en òrbita no tenen pes perquè han volat prou alt per escapar de la gravetat terrestre. De fet, a una altitud de 400 quilometres (250 mi), equivalent a una òrbita típica de l'Estació Espacial Internacional, la gravetat encara és gairebé un 90% tan forta com a la superfície de la Terra. La ingravidesa es produeix realment perquè els objectes en òrbita estan en caiguda lliure.

L'efecte de l'elevació del terreny depèn de la densitat del terreny. Una persona que vola a 9,100 m (30.000 peus) sobre el nivell del mar sobre les muntanyes sentirà més gravetat que algú a la mateixa elevació però sobre el mar. Tanmateix, una persona que es troba a la superfície de la Terra sent menys gravetat quan l'elevació és més alta.

Gravetat de la Terra vs Mart vs Lluna en elevació

La següent fórmula aproxima la variació de la gravetat terrestre amb l'altitud:

$g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}$

on

• g_h és l'acceleració gravitatòria a l'alçada h sobre el nivell del mar.
• R_e és el radi mitjà de la Terra.
• g₀/ és l'acceleració gravitatòria estàndard.

La fórmula tracta la Terra com una esfera perfecta amb una distribució de massa radialment simètrica; a continuació es discuteix un tractament matemàtic més precís.

Gravetat a les diferents capes internes de la Terra (1 = escorça continental, 2 = escorça oceànica, 3 = mantell superior, 4 = mantell inferior, 5+6 = nucli, A = límit escorça-mantell)

Es pot obtenir un valor aproximat de la gravetat a una distància r del centre de la Terra assumint que la densitat de la Terra és esfèricament simètrica. La força de la gravetat a un radi r només depèn de la massa dins de l'esfera d'aquest radi. Totes les contribucions de l'exterior es cancel·len com a conseqüència de la llei de la gravitació inversa del quadrat. Una altra conseqüència és que la gravetat és la mateixa que si tota la massa estigués concentrada al centre. Per tant, l'acceleració gravitatòria en aquest radi és

$g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.$

Distribució de la densitat radial de la Terra segons el Model de Referència Preliminar de la Terra (PREM).

on G és la constant gravitatòria i M és la massa total tancada dins del radi r . Aquest resultat es coneix com el teorema de Shell; Isaac Newton va trigar 20 anys a demostrar aquest resultat, cosa que va retardar el seu treball sobre la gravetat.

Si la Terra tingués una densitat ρ constant, la massa seria M(r) = (4/3)πρr³ i la dependència de la gravetat amb la profunditat seria

$g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.$

La gravetat g′ a la profunditat d ve donada per g′ = g(1 − d/R) on g és l'acceleració deguda a la gravetat a la superfície de la Terra, d és la profunditat i R és el radi de la Terra. Si la densitat disminuís linealment amb l'augment del radi des d'una densitat ρ₀ al centre fins a ρ₁ a la superfície, aleshores ρ(r) = ρ₀ − (ρ₀ − ρ₁) r / R, i la dependència seria

$g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{R}}.$

La dependència real de la profunditat de la densitat i la gravetat, inferida a partir dels temps de viatge sísmic (vegeu l'equació d'Adams-Williamson), es mostra als gràfics següents.

Topografia i geologia locals

Les diferències locals en la topografia (com ara la presència de muntanyes), la geologia (com ara la densitat de les roques a la rodalia) i l'estructura tectònica més profunda provoquen diferències locals i regionals en el camp gravitatori de la Terra, conegudes com a anomalies gravitatòries. Algunes d'aquestes anomalies poden ser molt extenses, provocant protuberàncies al nivell del mar i desincronitzant els rellotges de pèndol.

La gravetat terrestre segons el Model de Referència Preliminar de la Terra (PREM). S'inclouen dos models per a una Terra amb simetria esfèrica per a la seva comparació. La línia recta de color verd fosc és per a una densitat constant igual a la densitat mitjana de la Terra. La línia corba de color verd clar és per a una densitat que disminueix linealment des del centre fins a la superfície. La densitat al centre és la mateixa que al PREM, però la densitat superficial s'escull de manera que la massa de l'esfera sigui igual a la massa de la Terra real.

L'estudi d'aquestes anomalies constitueix la base de la geofísica gravitatòria. Les fluctuacions es mesuren amb gravímetres altament sensibles, es resta l'efecte de la topografia i altres factors coneguts, i a partir de les dades resultants es treuen conclusions. Actualment, els prospectors utilitzen aquestes tècniques per trobar dipòsits de petroli i minerals. Les roques més denses (sovint contenen minerals) provoquen camps gravitatoris locals més alts del normal a la superfície de la Terra. Les roques sedimentàries menys denses provoquen el contrari.

Un mapa de l'activitat volcànica recent i l'expansió de les dorsals. Les zones on la NASA GRACE va mesurar la gravetat com a més forta que la gravetat teòrica tenen una forta correlació amb les posicions de l'activitat volcànica i l'expansió de les dorsals.

Hi ha una forta correlació entre el mapa de derivació de la gravetat de la Terra de la NASA GRACE amb les posicions de l'activitat volcànica recent, l'expansió de les dorsals i els volcans: aquestes regions tenen una gravitació més forta que les prediccions teòriques.

Altres factors

En l'aire o l'aigua, els objectes experimenten una força de flotabilitat que redueix la força aparent de la gravetat (mesurada pel pes d'un objecte). La magnitud de l'efecte depèn de la densitat de l'aire (i, per tant, de la pressió de l'aire) o de la densitat de l'aigua, respectivament; vegeu Pes aparent per a més detalls.

Els efectes gravitacionals de la Lluna i el Sol (que també causen les marees) tenen un efecte molt petit sobre la força aparent de la gravetat terrestre, depenent de les seves posicions relatives; les variacions típiques són 2 μm/^s² (0,2 mGal) al llarg d'un dia.

Estimació de g a partir de la llei de la gravitació universal

Segons la llei de la gravitació universal, la força sobre un cos sobre la qual actua la força gravitatòria de la Terra ve donada per

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}\right)m$

on r és la distància entre el centre de la Terra i el cos (vegeu més avall), i aquí prenem $M_{\oplus }$ que sigui la massa de la Terra i m la massa del cos.

A més, la segona llei de Newton, F = ma, on m és la massa i a és l'acceleració, ens diu que

$F=mg$

Comparant les dues fórmules es veu que:

$g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}$

Així doncs, per trobar l'acceleració deguda a la gravetat al nivell del mar, substituïu els valors de la constant gravitatòria, G, la massa de la Terra (en quilograms), m1, i el radi de la Terra (en metres), r, per obtenir _el valor de g :

$g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm {{m}^{3}{\cdot }{kg}^{-1}{\cdot }{s}^{-2}} \times {\frac {5.98\times 10^{24}\ \mathrm {kg} }{(6.38\times 10^{6}\ \mathrm {m} )^{2}}}\approx 9.8\ \mathrm {{m}{\cdot }{s}^{-2}}$

Aquesta fórmula funciona perquè la gravetat d'un cos esfèric uniforme, mesurada a la seva superfície o per sobre, és la mateixa que si tota la seva massa estigués concentrada en un punt del seu centre. Això és el que ens permet utilitzar el radi de la Terra per a r .

El valor obtingut coincideix aproximadament amb el valor mesurat de g . La diferència es pot atribuir a diversos factors, esmentats anteriorment a #Variació de magnitud:

• La Terra no és homogènia
• La Terra no és una esfera perfecta i cal utilitzar un valor mitjà per al seu radi.
• Aquest valor calculat de g només inclou la gravetat real. No inclou la reducció de la força de restricció que percebem com una reducció de la gravetat a causa de la rotació de la Terra, i part de la gravetat que es contraresta per la força centrífuga.

Hi ha incerteses significatives en els valors de r i m1 tal com s'utilitzen en aquest càlcul, i el valor de G també és força difícil de mesurar amb precisió.

Si es coneixen G, g i r, un càlcul invers donarà una estimació de la massa de la Terra. Aquest mètode va ser utilitzat per Henry Cavendish.