Grup de Lie

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, un grup de Lie (anomenat així en honor a Sophus Lie) és una varietat diferenciable real o complexa que és també un grup tal que les operacions de grup: multiplicació i inversió són funcions analítiques. Els grups de Lie són importants en anàlisi matemàtica, física i geometria perquè serveixen per descriure la simetria d'estructures analítiques. Van ser introduïts per Sophus Lie el 1870 per estudiar simetries d'equacions diferencials. Mentre que l'espai euclidià R n és un grup de Lie real (amb l'addició ordinària de vectors com a operació de grup), exemples més típics són grups de matrius invertibles (multiplicació de matrius), per exemple el grup SO (3) de totes les rotacions en l'espai de 3 dimensions. Vegeu sota per una llista més completa d'exemples. Es classifiquen els grups de Lie pel que fa a les seves propietats algebraiques (simple, semisimple, resoluble, Nilpotent, abelià), la seva connexitat (connex o no connex) i la seva compacitat.

Homomorfismes i isomorfismes[modifica | modifica el codi]

Si G i V són grups de Lie (reals o complexos tots dos), llavors un homomorfisme de grup-de-Lie- f : G --> H és un homomorfisme de grup que és també una funció analítica. (Es pot demostrar que és equivalent a demanar només que sigui funció contínua.) La composició de dues tals Homomorfismes és una altra vegada un homomorfisme, i la classe de tots els grups de Lie (reals o complexos), juntament amb aquests morfismes, forma una categoria. Dos grups de Lie es diuen isomorfs si existeix un homomorfisme bijectiva entre ells l'invers és també un homomorfisme. Els grups de Lie isomorfs no necessiten, per a qualsevol propòsit pràctic, ser distingits, es diferencien només en la notació dels seus elements.

Àlgebra de Lie associada a un grup de Lie[modifica | modifica el codi]

A cada grup de Lie, podem associar un àlgebra de Lie que captura totalment l'estructura local del grup. Això es fa de la manera següent. Un camp vectorial en un grup de Lie G es diu invariant per l'esquerra si commuta amb la translació esquerra, que significa el següent. Definiu L g [ f ] ( x ) = f ( gx ) per a qualsevol funció analítica f : G --> F i tot g , x a G (aquí F és el cos R o C ). llavors el camp vectorial X és invariant per l'esquerra si X L g = L g X per a tot g a G .

El conjunt de tots els camps vectorials en una varietat analítica és un àlgebra de Lie sobre F . En un grup de Lie, els camps vectorials invariants per l'esquerra formen una subalgebra, l'àlgebra de Lie associada a G , denotat generalment per una g gòtica (\mathfrak{g}). Aquesta àlgebra de Lie g és finit-dimensional (té la mateixa dimensió que la varietat G ) el que la fa susceptible a les temptatives de classificació. Classificant g , un pot aconseguir un acostament al grup de Lie G . La teoria de representació dels grups simples de Lie són el millor i més important exemple.

Cada element v del espai tangent T i a l'element identitat i de G determina un camp vectorial esquerra-invariant únic el valor en l'element x d G és denotat XV ; l'espai vectorial subjacent a g es pot per tant identificar amb T i . l'estructura de l'àlgebra de Lie en T i pot ser descrita com segueix: l'operació del commutador

( x , i ) --> xyx -1 i -1

en G x G s'envia ( i , i ) a i , així que la seva derivada dóna una operació bilineal En T i . resulta que aquesta operació bilineal satisfà els axiomes de un claudàtor de Lie, i és igual al que és definit a través de camps vectorials invariants per l'esquerra.

Cada vector v en g determina una funció c : R --> G la derivada en tot punt ve donat pel camp vectorial invariant per l'esquerra corresponent

c ( t ) = c ( t ) v

i que té la propietat

c ( s + t ) = c ( s ) c ( t )

per a tot s i t . L'operació en el costat dret és la multiplicació de grup en G . La semblança formal d'aquesta fórmula amb la que és vàlida per a la funció exponencial justifica la definició

Exp ( v ) = c (1)

això s'anomena la funció exponencial , i mapeja l'àlgebra de Lie g en el grup de Lie G . Proporciona un difeomorfismo entre una veïnatge de 0 a g i una veïnatge de i a G . Aquesta funció exponencial és una generalització de la funció exponencial per als nombres reals (ja que R és l'àlgebra de Lie del grup de Lie de nombres reals positius amb la multiplicació usual), per als nombres complexos (ja que C és l'àlgebra de Lie del grup de Lie de nombres complexos diferents de zero amb la multiplicació usual) i per a les matrius (ja que M ( n , R ) amb el commutador regular és l'àlgebra de Lie del grup de Lie GL ( n , R ) de totes les matrius invertibles).

Perquè la funció exponencial és suryectiva en alguna veïnatge N de i , és comú trucar als elements de l'àlgebra de Lie generadors infinitesimals del grup G . De fet, el subgrup de G generat per N serà el grup sencer G només quan G sigui connex.

La funció exponencial i l'àlgebra de Lie determinen l'estructura de grup local de cada grup de Lie connex, a causa de la fórmula de Campbell-Hausdorff: hi ha una veïnatge U de l'element zero de g , tal que per o , v a U es té

Exp ( o ) exp ( v ) = exp ( o + v +1/2 [ o , v ]+1/12 [[ o , v ], v ] - 1/12 [[ o , v ], o ] -...)

on els termes omesos són coneguts i impliquen els claudàtors de Lie de quatre o més elements. En cas que o i v commutin, aquesta fórmula es redueix a la llei exponencial familiar exp ( v ) exp ( o ) = exp ( o + v ).

Cada homomorfisme f : G --> H dels grups de Lie indueix un homomorfisme entre les àlgebra de Lie corresponents g i h . l'associació G |--> g és un funtor. L'estructura global d'un grup de Lie no està totalment determinada, en general, per la seva àlgebra de Lie, consulteu la taula avall per als exemples de grups de Lie diversos que comparteixen la mateixa àlgebra de Lie. Podem dir però que un grup de Lie connex és simple, semisimple, resoluble, Nilpotent, o abelià si i només si la seva àlgebra de Lie té la propietat corresponent.

Si requerim que el grup de Lie sigui simplement connex, llavors l'estructura global està determinada per la seva àlgebra de Lie: per a cada àlgebra de Lie g finit dimensional sobre F hi ha un únic (mòdul un isomorfisme) grup de Lie G simplement connex amb g com àlgebra de Lie. D'altra banda cada homomorfisme entre les àlgebres de Lie s'eleva a un homomorfisme únic entre els corresponents grups de Lie simplement connexos.

Llista d'alguns grups de Lie reals i de les àlgebres de Lie[modifica | modifica el codi]

grup de Lie descripció Comentaris àlgebra de Lie descripció dim/R
\R^n Espai euclidià amb addició Abelià, simplement connex, no compacte \R^n El claudàtor de Lie és zero n
\R^\times nombres reals no nuls amb la multiplicació Abelià, no connex, no compacte \R El claudàtor de Lie és zero 1
\R^+ nombres reals positius amb la multiplicació Abelià, simplement connex, no compacte \R el claudàtor de Lie és zero 1
\mbox{S}^1 =\R/\mathbb{Z} nombres complexos de valor absolut 1 amb la multiplicació Abelià, connex, no simplement connex, compacte \R el claudàtor de Lie és zero 1
\mathbb{H}^\times quaternions no nuls amb la multiplicació Connex, no simplement connex, no compacte \mathbb{H} Quaternions, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador 4
\mbox{S}^3\, quaternions de mòdul 1 amb la multiplicació, una 3-esfera Simplement connex, compacte, simple i semi-simple, isomorf a  SU (2)\; ja \mbox{Spin}(3) \R^3 3-vectors reals, amb el claudàtor de Lie el producte vectorial; isomorf als quaternions amb part real zero, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador també isomorf a \mathfrak{seva}(2 ) ja \mathfrak{so}(3) 3
 GL (n,\R) Grup general lineal: matrius reals n -per- n invertibles No connex, no compacte  M (n,\R) matrius reals n -per- n , amb el claudàtor de Lie donat pel commutador  n^2
 GL^+(n,\R) matrius reals n -per- n amb determinant positiu Connex, no compacte M ( n , R ) matrius reals n -per- n , amb el claudàtor de Lie donat pel commutador  n^2
 SL (n,\R) Grup especial lineal: matrius reals n -per- n amb determinant 1 Connex, no compacte si n > 1 \mathfrak{sl}(n,\R) matrius reals n -per- n , amb traça 0, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ² -1
 O (n,\R) Grup ortogonal: matrius reals n -per- n ortogonals No connex, compacte \mathfrak{so}(3,\R) matrius reals n -per- n , antisimètrica, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador; \mathfrak{so}( 3,\R) és isomorf a \mathfrak{seva}(2,\R) ja \R^3 amb el producte vectorial n ( n -1)/2
 SO (n,\R) Grup especial ortogonal: matrius reals n -per- n ortogonals amb determinant 1 Connex, compacte si n > 1, no simplement connex, si n = 3 o n ≥ 5 simple i semisimple \mathfrak{so}(n,\R) matrius reals n -per- n , antisimètrica, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ( n -1)/2
\mbox{Spin}(n)\; grup de espinors Simplement connex, compacte si n = 3 o n ≥ 5, simple i semisimple so ( n , R ) matrius reals n -per- n , antisimètrica, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ( n -1)/2
Sp (2 n , R ) Grup simpléctic real: matrius simpléctica reals No compacte, simple i semisimple sp (2 n , R ) Matrius reals que satisfan JA + A T J = 0 on J és la matriu anti-simètrica estàndard n (2 n +1)
Sp ( n ) Grup simpléctic: matrius unitàries n -per- n quaternions Compacte, simplement connex, simple i semisimple sp ( n ) Matrius quaternions quadrades A satisfent A = - A * , amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n (2 n +1)
U ( n ) Grup unitari: matrius complexes n -per- n unitàries Isomorf a S ¹ per n = 1, simplement connex per n> 1 , compacte. Nota: aquest no és un grup/àlgebra de Lie complex o ( n ) matrius complexes n -per- n , que compleixen A = - A * , amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ( n -1)/2 n ²
SEU ( n ) Grup especial unitari: matrius complexes n -per- n unitàries amb determinant 1 Simplement connex, compacte i si n ≥ 2, simple i semisimple. Nota: aquest no és un grup/àlgebra de Lie complex seva ( n ) matrius complexes  n\times n , que compleixen A = - A * amb traça 0, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ² -1

Llista d'alguns grups de Lie complexos i de les àlgebres de Lie[modifica | modifica el codi]

grup de Lie descripció Comentaris àlgebra de Lie descripció dim/C
C n Espai euclidià amb addició Abelià, simplement connex, no compacte C n El claudàtor de Lie és zero n
C × nombres complexos no nuls amb la multiplicació Abelià, connex, no simplement connex, no compacte C El claudàtor de Lie és zero 1
GL ( n , C ) Grup general lineal: matrius complexes n -per- n invertibles Simplement connex, no compacte M ( n , C ) matrius complexes n -per- n , amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ²
SL ( n , C ) Grup especial lineal complex: matrius complexes n -per- n amb determinant 1 Simple i semisimple, simplement connex si n > 1, no compacte sl ( n , C ) matrius complexes n -per- n , amb traça 0, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ² -1
O ( n , C ) Grup ortogonal: matrius complexes n -per- n ortogonals No connex n > 1, compacte so ( n , C ) matrius omplejas n -per- n , antisimètrica, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ( n -1)/2
SO ( n , C ) Grup especial ortogonal: matrius complexes n -per- n ortogonals amb determinant 1 Connex, no compacte, no simplement connex si n > 1, si n = 3 o n ≥ 5 simple i semisimple so ( n , C ) matrius complexes n -per- n , antisimètrica, amb el claudàtor de Lie donat pel commutador n ( n -1)/2
Sp (2 n , C ) Grup simpléctica: matrius simpléctica complexes No compacte, simple i semisimple sp (2 n , C ) Matrius complexes que satisfan JA + A T J = 0 on J és la matriu anti-simètrica estàndard n (2 n +1)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]