Grup divisible

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, i especialment en el camp de teoria de grups, un grup divisible és un grup abelià on tot element es pot dividir per enters positius, en algun sentit, o més exactament, on tot element és un múltiple n-sim per a qualsevol enter positiu n. Els grups divisibles són importants a l'hora d'entendre l'estructura dels grups abelians, sobre tot perquè són els grups abelians injectius.

Definició[modifica]

Un grup abelià és divisible si, per a qualsevol enter positiu i per a tot , existeix un element tal que .[1] Una condició equivalent és: per a qualsevol enter positiu , es té que , ja que l'existència d'un element per a qualssevol i implica que (en sentit contrari, és cert per a qualsevol grup). Una tercera condició equivalent és que un grup abelià és divisible si i només si és un objecte injectiu dins la categoria de grups abelians; per aquest motiu, de vegades es diu que un grup divisible és un grup injectiu.

Un grup abelià és -divisible per un nombre primer si per a tot existeix un element tal que . Equivalentment, un grup abelià és -divisible si i només si .

Exemples[modifica]

  • Els nombres racionals formen un grup divisible amb la suma.
  • Més en general, el grup additiu subjacent de qualsevol espai vectorial sobre és divisible.
  • Tot quocient d'un grup divisible és divisible. Així, és divisible.
  • El component p-primari de , que és isomorf al grup p-quasicíclic , és divisible.
  • El grup multiplicatiu dels nombres complexos és divisible.
  • Tot grup abelià existencialment tancat (en el sentit de la teoria de models) és divisible.

Propietats[modifica]

  • Si un grup divisible és un subgrup d'un grup abelià, llavors és un sumand directe.[2]
  • Tot grup abelià es pot submergir en un grup divisible.[3]
  • Els grups divisibles no trivials no són finitament generats.
  • Addicionalment, tot grup abelià es pot submergir de manera única en un grup divisible com un subgrup essencial.[4]
  • Un grup abelià és divisible si i només si és p-divisible per a tot nombre primer p.
  • Sigui A un anell. Si T és un grup divisible, llavors HomZ(A, T) és injectiu dins la categoria d'A-mòduls.[5]

Teorema d'estructura dels grups divisibles[modifica]

Sigui G un grup divisible. Llavors el subgrup de torsió Tor(G) de G és divisible. Com que un grup divisible és un mòdul injectiu, llavors Tor(G) és un sumand directe de G. Per tant,

G/Tor(G) és divisible perquè és un quocient d'un grup divisible. A més, és lliure de torsió. Per tant, és un espai vectorial sobre Q, i existeix un conjunt I tal que

L'estructura del subgrup de torsió és difícil de determinar, però es pot demostrar[6][7] que per a tots els nombres primers p existeix tal que

on és el component p-primari de Tor(G).

Així, si P és el conjunt dels nombres primers,

Les cardinalitats dels conjunts I i Ip per a pP estan unívocament determinades pel grup G.

Grups abelians reduïts[modifica]

Es diu que un grup abelià és reduït si el seu únic subgrup divisible és el grup trivial {0}. Tot grup abelià és la suma directa d'un subgrup divisible i un subgrup reduït. De fet, tot grup té un únic subgrup divisible maximal, i aquest subgrup divisible és un sumand directe.[8] Això és una característica especial dels anells hereditaris com els enters Z: la suma directa de mòduls injectius és injectiva perquè l'anell és noetherià, i els quocients de mòduls injectius són injectius perquè l'anell és hereditari, així que qualsevol submòdul generat per mòduls injectius és injectiu. El recíproc és un resultat de Matlis 1958: si tot mòdul té un únic submòdul injectiu maximal, llavors l'anell és hereditari.

El teorema d'Ulm proporciona una classificació completa dels grups abelians periòdics reduïts comptables.

Generalització[modifica]

Es poden donar diverses definicions que generalitzen el concepte de grup divisible al cas de mòduls divisibles. Les següents definicions s'utilitzen en la bibliografia per definir un mòdul divisible M sobre un anell R:

  1. rM = M per a qualsevol element r de R no nul[9] (de vegades es requereix que r no sigui un divisor de zero, i alguns autors[10][11] requereixen que R sigui un domini).
  2. Per a tot ideal principal per l'esquerra Ra, qualsevol homomorfisme de Ra cap a M s'estén a un homomorfisme de R cap a M[12][13] (aquest tipus de mòdul divisible també s'anomena mòdul principalment injectiu).
  3. Per a tot ideal finitament generat per l'esquerra L de R, qualsevol homomorfisme de L cap a M s'estén a un homomorfisme de R cap a M.[14]

Les últimes dues condicions són "versions restringides" del criteri de Baer per a mòduls injectius. Com que els mòduls injectius per l'esquerra estenen els homomorfismes de tots els ideals per l'esquerra cap a R, els mòduls injectius són clarament divisibles en els sentits de les definicions 2 i 3.

Si, a més, R és un domini, llavors les tres definicions són equivalents. Si R és un domini d'ideals principals per l'esquerra, llavors els mòduls divisibles coincideixen amb els mòduls injectius.[15] Per això, en el cas de l'anell dels enters Z, el qual és un domini d'ideals principals, un Z-mòdul (que és exactament un grup abelià) és divisible si i només si és injectiu.

Si R és un domini commutatiu, llavors els mòduls R injectius coincideixen amb els mòduls R divisibles si i només si R és un domini de Dedekind.[15]

Referències[modifica]

  1. Griffith, 1970, p. 6.
  2. Hall, 1959, p. 197.
  3. Griffith, 1970, p. 17.
  4. Griffith, 1970, p. 19.
  5. Lang, 1984, p. 106.
  6. Kaplansky, 1965.
  7. Fuchs, 1970.
  8. Griffith, 1970, p. 7.
  9. Feigelstock, 2006.
  10. Cartan; Eilenberg, 1999.
  11. Rotman, 2009.
  12. Lam, 1999.
  13. Nicholson; Yousif, 2003.
  14. Damiano, 1979.
  15. 15,0 15,1 Lam, 1999, p. 70-73.

Bibliografia[modifica]

  • Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel. Homological algebra. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1999, p. xvi+390 (Princeton Landmarks in Mathematics). ISBN 0-691-04991-2. 
  • Feigelstock, Shalom «Divisible is injective». Soochow J. Math., 32, 2, 2006, pàg. 241–243. ISSN: 0250-3255.
  • Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. University of Chicago Press, 1970 (Chicago Lectures in Mathematics). ISBN 0-226-30870-7. 
  • Hall, Marshall, jr. «Chapter 13.3.». A: The theory of groups. New York: Macmillan, 1959. 
  • Kaplansky, Irving. Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press, 1965. 
  • Fuchs, László. Infinite Abelian Groups Vol 1. Academic Press, 1970. 
  • Lam, Tsit-Yuen. Lectures on modules and rings. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999 (Graduate Texts in Mathematics No. 189). DOI 10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. 
  • Lang, Serge. Algebra, Second Edition. Menlo Park, California: Addison-Wesley, 1984. 
  • Matlis, Eben «Injective modules over Noetherian rings». Pacific Journal of Mathematics, 8, 1958, pàg. 511–528. DOI: 10.2140/pjm.1958.8.511. ISSN: 0030-8730.
  • Nicholson, W. K.; Yousif, M. F. «Quasi-Frobenius rings». Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press [Cambridge], 158, 2003, pàg. xviii+307. DOI: 10.1017/CBO9780511546525.