Hipotrocoide

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una hipotrocoide , a geometria, és la corba plana que descriu un punt vinculat a una circumferència generatriu que roda dins d'una circumferència directriu, tangencialment, sense lliscament.

La paraula es compon de les arrels gregues singlot hupo (baix) i trokos (roda).

Aquestes corbes van ser estudiades per Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer el 1674 i Bernoulli el 1725.

hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5).
L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1.

Equacions[modifica | modifica el codi]

Sent  q = \dfrac{a}{b} (on  q> 1 ) i  d = kb , amb circumferència directriu de ràdio a , i circumferència generatriu de ràdio b , i la distància al centre de la generatriu d , l'equació de la hipotrocoide és:

 Z = (ab) i^{it}+d'^{-i (q-1) t}\,

on:

 QZ = a [(q-1) i^{it}+ke^{-i (q-1) t}] \,
 Q (x+I i) = a (q-1) \cos (t)+ia (q-1) \sin (t)+ak \cos [(q-1) t] - iak \sin [(q-1) t]

Per identificació de les parts reals i imaginàries s'obté:

 Qx = a (q-1) \cos (t)+ca \cos [(q-1) t)]; \,
 Qi = a (q-1) \sin (t) - ca \sin [(q-1) t)]; \,

on:

 Q = \dfrac{a}{b} i  k = \dfrac{d}{b}\, .

Sabent que  a = R ,  b = r i  t = \theta , obtenim les equacions següents:

 X = (R - r) \cos \theta+d \cos \left ({R - r \over r}\theta \right)
 I = (R - r) \sin \theta - d \sin \left ({R - r \over r}\theta \right)

l'angle  \theta varia de 0 a 2π.

Les el·lipses són casos particulars de hipotrocoide, on  R = 2r .

Les hipocicloides són casos particulars, on  d = r (el punt fix de la generatriu)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]