Hipotrocoide
Una hipotrocoide , a geometria, és la corba plana que descriu un punt vinculat a una circumferència generatriu que roda dins d'una circumferència directriu, tangencialment, sense lliscament.
La paraula es compon de les arrels gregues hipó (ὑπό , «sota») i trokhos (τρόχος, «roda»).
-
Hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5)
-
L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1
Aquestes corbes van ser estudiades per Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer el 1674 i Johann Bernoulli el 1725.
Equacions
[modifica]Sent (on ) i , amb circumferència directriu de radi a , i circumferència generatriu de radi b , i la distància al centre de la generatriu d , l'equació de la hipotrocoide és:
on:
Per identificació de les parts reals i imaginàries s'obté:
on:
- i .
Sabent que , i , obtenim les equacions següents:[1]
on θ és l'angle format per l'horitzontal i el centre del cercle rodant (no són equacions polars perquè θ no és l'angle polar). Quan es mesura en radians, θ pren valors de 0 a (on MCM és el mínim comú múltiple).
Curiositats
[modifica]Les el·lipses són casos particulars de hipotrocoide, on i .[2] L'excentricitat de l'el·lipse és
esdevenint 1 quan (vegeu parell de Tussí).
Les hipocicloides són casos particulars, on (el punt fix de la generatriu).
La joguina clàssica espirògraf traça les corbes hipotrocoides i epitrocoides.
Els hipotrocoides descriuen el suport dels valors propis d'algunes matrius aleatòries amb correlacions cícliques.[3]
Referències
[modifica]- ↑ Lawrence, J. Dennis. A catalog of special plane curves (en anglès). Dover Publications, 1972, p. 165–168. ISBN 0-486-60288-5.
- ↑ Gray, Alfred. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (en anglès). CRC Press, 1997, p. 906. ISBN 978-0-849-37164-6.
- ↑ Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning «Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations» (en anglès). Physical Review E, 100(1), 16-07-2019, pàg. 010302. arXiv: 1812.07055. Bibcode: 2019PhRvE.100a0302A. DOI: 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID: 31499759.
Vegeu també
[modifica]Enllaços externs
[modifica]- Hypotrochoid, en Mathworld (en anglès)
- Hypotrochoid, en Mathcurve (en francès)