Identitat de Parseval

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi matemàtica, la identitat de Parseval és un resultat fonamental sobre la suma de certes sèries obtingudes a partir de la sèrie de Fourier d'una funció. Geomètricament, es pot interpretar com una generalització del teorema de Pitàgores per a espais prehilbertians, és a dir, espais dotats d'un producte escalar, i possiblement de dimensió infinita.

Expressat de manera informal, la identitat estableix que la suma dels quadrats dels coeficients de Fourier d'una funció és igual a la integral de la funció al quadrat:

on els coeficients de Fourier cn de ƒ vénen donats per

Aquesta igualtat es compleix suposant que ƒ és una funció de quadrat integrable, o, expressat de manera més precisa, que f és de L2(−π,π). Un resultat similar és el teorema de Plancherel, que afirma que la integral del quadrat de la transformada de Fourier d'una funció és igual a la integral del quadrat de la funció mateixa. En una dimensió, per ƒL2(R),

La identitat es relaciona amb el teorema de Pitàgores en l'escenari més general d'un espai de Hilbert separable de la següent manera. Suposeu que H és un Espai de Hilbert amb el producte escalar 〈•,•〉. Sia (e n ) una base ortonormal de H; és a dir, l'extensió lineal de e n és densa en H, i els en són mútuament orthonormals:

Llavors la identitat de Parseval afirma que per a cada x  ∈ H,

Això és directament anàleg al teorema de Pitàgores, que afirma que la suma dels quadrats dels components d'un vector en una base ortonormal és igual a la longitud al quadrat del vector. Es pot recobrar la versió de sèrie de Fourier de la identitat de Parseval deixant que H sigui l'espai de Hilbert L2[−π,π;], i establint en = e−inx per nZ.

De forma més general, la identitat de Parseval es compleix en qualsevol espai amb producte interior, no només en espais de Hilbert separables. Així suposant que H és un espai amb producte interior. Sia B una base ortonormal de H; és a dir, un conjunt ortonormal que és total en el sentit que l'extenssió lineal de B és dens en H. Llavors

L'exigència que B és total és necessària per a la validesa de la identitat. Si B no és total, llavors la igualtat en la identitat de Parseval s'ha de reemplaçar per ≥, així dóna la desigualtat de Bessel. Aquesta forma general de la identitat de Parseval es pot demostrar utilitzant el teorema de Riesz–Fischer.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]