Indeterminació (límit)

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En càlcul, indeterminació o límit indeterminat és una expressió que s'utilitza a l'hora d'avaluar un límit quan no es pot saber a priori quin serà el resultat d'aquest. Tot i això, utilitzant les propietats dels límits es poden arribar a resoldre aquestes indeterminacions.

Idea intuïtiva[modifica]

Per tal de comprendre què significa que un límit és indeterminat, es pot observar el següent exemple. Tenim, en primer lloc, que

És a dir, que sigui quin sigui el valor de , si el dividim per infinit donarà zero. Si aïllem la , veiem que

Com hem vist abans, qualsevol nombre compleix la relació. Per tant, en multiplicar l'infinit per zero també podem obtenir qualsevol nombre, i no podem saber quin serà sense efectuar abans algunes operacions.

Indeterminacions[modifica]

Seguint el procediment que hem explicat anteriorment, podem veure que hi ha fins a 7 indeterminacions, que són les següents:

En tots els casos es pot arribar a resoldre el límit que ens hi condueix emprant un mètode determinat, que és diferent en cada cas.

Resolució d'indeterminacions[modifica]

A continuació es mostren diferents procediments que es poden utilitzar per resoldre límits que condueixen a una indeterminació.

Cas infinit dividit d'infinit[modifica]

Suposem que tenim un límit tal que

Terme director[modifica]

Si tenim un límit que tendeix a infinit i que consisteix en la divisió de dos polinomis, podem aplicar terme director per resoldre'l.

Suposem que tenim dos polinomis tals que i . Llavors, el límit

Per exemple, si hem de resoldre el següent límit:

Aplicant terme director

Regla de l'Hôpital[modifica]

La regla de l'Hôpital és vàlida per resoldre límits del tipus infinit dividit d'infinit. El que diu la regla és el següent:

Per exemple, podem resoldre el següent límit:

Cas zero dividit per zero[modifica]

Suposem que tenim un límit tal que

Aquests límits es resolen normalment utilitzant la regla de l'Hôpital. Tot i això en alguns casos no serveix, i en d'altres no és necessari.

Utilitzant la regla de l'Hôpital[modifica]

La regla de l'Hôpital diu el següent

Que també és aplicable quan el límit tendeix a infinit.

Anem a veure com s'aplica amb un exemple. Volem calcular el següent límit

En alguns casos farà falta aplicar la regla de l'Hôpital més d'una vegada. Per exemple, quan resolem el següent límit:

Continua sent indeterminat encara que hem aplicat una vegada la regla. Com veiem, però, podem tornar a aplicar-la:

Observació[modifica]

Cal fixar-se que el resultat del límit sigui igual a , ja que aplicar la regla de l'Hôpital en altres casos conduirà a límits diferents de l'original.

Cas zero per infinit[modifica]

Aquesta indeterminació es resol transformant el límit en un cas de zero dividit de zero o en un cas infinit dividit per infinit. Un cop fet això, caldrà resoldre el nou límit aplicant la regla de l'Hôpital.

Si per exemple tenim el límit:

Llavors podem obtenir aquests dos límits resolubles segons la regla de l'Hôpital:

Suposem que volem resoldre el següent límit:

Aplicant la regla de l'Hôpital: