Integral de Duhamel

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La integral de Duhamel En la teoria de vibracions, és un mètode per calcular la resposta de sistemes lineals i estructures a excitacions externes arbitràries variables en el temps. Rep el seu nom del matemàtic francès Jean Marie Duhamel.

Introducció[modifica | modifica el codi]

Previ[modifica | modifica el codi]

La resposta d'un sistema lineal esmorteït d'un sol grau de llibertat a una excitació mecànica variable en el temps p(t) ve donada per l'equació diferencial ordinària de segon ordre següent:

on m és la massa (equivalent), x és l'amplitud de vibració, t el temps, c el coeficient d'esmorteïment viscos, i k la rigidesa del sistema o estructura.

Si un sistema inicialment en repòs i en equilibri rep un impuls unitari a l'instant t=0, és a dir que p(t) a l'equació anterior és una funció delta δ(t), , aleshores la solució de l'equació diferencial és una solució fonamental coneguda com a funcio resposta a l'impuls unitari)

on rep el nom raó d'esmorteïment del sistema, és la pulsació natural del sistema no esmorteït (és a dir, quan c=0) i és la freqüència circular quan es té en compte l'efecte de l'esmorteïment (és a dir quan ). Si l'impuls es dóna a t=τ en lloc de t=0, és a dir , la resposta a l'impuls és

Conclusió[modifica | modifica el codi]

Expressant l'excitació arbitrària p(t) com a la superposició d'una sèrie d'impulsos:

aleshores, de la linealitat del sistema, se sap que la resposta total també es pot expressar com la superposició de la sèrie de respostes als impulsos:

Si es fa , i canviant la suma per una integral, l'equació anterior és estrictament vàlida

Substituint l'expressió de h(t-τ) en l'equació anterior porta a l'expressió general de la integral de Duhamel

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., Nova York, 1975. (en angles)
  • Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001 (en angles)
  • Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986 (en angles)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]