Interpolació lineal

Donats els dos punts vermells, la línia blava és la interpolació lineal entre els punts, i el valor y en x es pot trobar mitjançant interpolació lineal.

En matemàtiques, la interpolació lineal és un mètode d'ajust de corbes que utilitza polinomis lineals per construir nous punts de dades dins del rang d'un conjunt discret de punts de dades coneguts.

Interpolació lineal entre dos punts coneguts

En aquesta visualització geomètrica, el valor del cercle verd multiplicat per la distància horitzontal entre els cercles vermell i blau és igual a la suma del valor del cercle vermell multiplicat per la distància horitzontal entre els cercles verd i blau, i el valor del cercle blau multiplicat per la distància horitzontal entre els cercles verd i vermell.

Si els dos punts coneguts estan donats per les coordenades $(x_{0},y_{0})$ i $(x_{1},y_{1})$, l'interpolant lineal és la línia recta entre aquests punts. Per a un valor $x$ en l'interval $(x_{0},x_{1})$, el valor $y$ al llarg de la línia recta es dóna a partir de l'equació dels pendents $${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},$$ que es pot derivar geomètricament de la figura de la dreta. És un cas especial d'interpolació polinòmica amb $n=1$.

Resolent aquesta equació per a $y$, que és el valor desconegut a $x$, dóna $${\begin{aligned}y&=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {y_{1}(x-x_{0})-y_{0}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{1}x-y_{1}x_{0}-y_{0}x+y_{0}x_{0}+y_{0}x_{1}-y_{0}x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}},\end{aligned}}$$ que és la fórmula per a la interpolació lineal en l'interval $(x_{0},x_{1})$. d'aquest interval, la fórmula és idèntica a l'extrapolació lineal.

Aquesta fórmula també es pot entendre com una mitjana ponderada. Els pesos estan inversament relacionats amb la distància des dels punts finals fins al punt desconegut; el punt més proper té més influència que el punt més llunyà. Per tant, els pesos són ${\textstyle 1-(x-x_{0})/(x_{1}-x_{0})}$ i ${\textstyle 1-(x_{1}-x)/(x_{1}-x_{0})}$, que són distàncies normalitzades entre el punt desconegut i cadascun dels punts finals. Com que sumen 1, $${\begin{aligned}y&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left(1-{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left({\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\end{aligned}}$$ donant la fórmula per a la interpolació lineal donada anteriorment.

Interpolació d'un conjunt de dades

La interpolació lineal sobre un conjunt de dades (punts vermells) consisteix en fragments d'interpolants lineals (línies blaves).

La interpolació lineal sobre un conjunt de punts de dades (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (x_n, y_n) (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (x_n, y_n) es defineix com a lineal a trossos, resultant de la concatenació d'interpoladors de segments lineals entre cada parell de punts de dades. Això resulta en una corba contínua, amb una derivada discontínua (en general), per tant de classe de diferenciabilitat. $C^{0}$.

Interpolació lineal com a aproximació

La interpolació lineal s'utilitza sovint per aproximar un valor d'alguna funció f utilitzant dos valors coneguts d'aquesta funció en altres punts. L' error d'aquesta aproximació es defineix com $$R_{T}=f(x)-p(x),$$ on p denota el polinomi d'interpolació lineal definit anteriorment: $$p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).$$

Es pot demostrar utilitzant el teorema de Rolle que si f té una segona derivada contínua, aleshores l'error està limitat per $$|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}\left|f''(x)\right|.$$És a dir, l'aproximació entre dos punts d'una funció determinada empitjora amb la segona derivada de la funció que s'aproxima. Això també és intuïtivament correcte: com més "corba" és la funció, pitjors es tornen les aproximacions fetes amb interpolació lineal simple.

Història i aplicacions

La interpolació lineal s'ha utilitzat des de l'antiguitat per omplir els buits de les taules. Suposem que tenim una taula que mostra la població d'algun país el 1970, 1980, 1990 i 2000, i que volem estimar la població el 1994. La interpolació lineal és una manera fàcil de fer-ho. Es creu que es va utilitzar a l'Imperi Selèucida (últims tres segles aC) i per l'astrònom i matemàtic grec Hiparc (segle II aC). Es pot trobar una descripció de la interpolació lineal a l'antic text matemàtic xinès anomenat Els nou capítols de l'art matemàtic (九章算術), datat del 200 aC al 100 dC i l'Almagest (segle II dC) de Ptolemeu.

L'operació bàsica d'interpolació lineal entre dos valors s'utilitza habitualment en gràfics per ordinador. En l'argot d'aquest camp, de vegades s'anomena interpolació lineal (d' interpolació lineal). El terme es pot utilitzar com a verb o substantiu per a l'operació. Per exemple, " l'algoritme de Bresenham interpola incrementalment entre els dos extrems de la línia".

Les operacions lerp estan integrades al maquinari de tots els processadors gràfics d'ordinador moderns. Sovint s'utilitzen com a blocs de construcció per a operacions més complexes: per exemple, una interpolació bilineal es pot aconseguir en tres lerps. Com que aquesta operació és barata, també és una bona manera d'implementar taules de cerca precises amb cerca ràpida per a funcions suaus sense tenir massa entrades de taula.

La interpolació lineal tal com es descriu aquí és per a punts de dades en una dimensió espacial. Per a dues dimensions espacials, l'extensió de la interpolació lineal s'anomena interpolació bilineal, i en tres dimensions, interpolació trilineal. Cal tenir en compte, però, que aquests interpolants ja no són funcions lineals de les coordenades espacials, sinó productes de funcions lineals; això s'il·lustra amb l'exemple clarament no lineal d'interpolació bilineal a la figura següent. Altres extensions de la interpolació lineal es poden aplicar a altres tipus de malla, com ara malles triangulars i tetraèdriques, incloses les superfícies de Bézier. Aquestes es poden definir com a funcions lineals a trossos de dimensions superiors (vegeu la segona figura següent).

Exemple d' interpolació bilineal al quadrat unitari amb els valors z 0, 1, 1 i 0,5, tal com s'indica. Els valors interpolats entremig es representen per color.

Extensions

Multivariant

La interpolació lineal tal com es descriu aquí és per a punts de dades en una dimensió espacial. Per a dues dimensions espacials, l'extensió de la interpolació lineal s'anomena interpolació bilineal, i en tres dimensions, interpolació trilineal. Cal tenir en compte, però, que aquests interpolants ja no són funcions lineals de les coordenades espacials, sinó productes de funcions lineals; això s'il·lustra amb l'exemple clarament no lineal d' interpolació bilineal a la figura següent. Altres extensions de la interpolació lineal es poden aplicar a altres tipus de malla, com ara malles triangulars i tetraèdriques, incloses les superfícies de Bézier. Aquestes es poden definir com a funcions lineals a trossos de dimensions superiors (vegeu la segona figura següent).