Vés al contingut

Interpretacions de probabilitat

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

La paraula "probabilitat" s'ha utilitzat de diverses maneres des que es va aplicar per primera vegada a l'estudi matemàtic dels jocs d'atzar. La probabilitat mesura la tendència real, física, d'alguna cosa a ocórrer, o és una mesura de la força amb què es creu que ocorrerà, o es basa en tots dos elements? En respondre aquestes preguntes, els matemàtics interpreten els valors de probabilitat de la teoria de la probabilitat.[1]

Hi ha dues grans categories[2][3] d'interpretacions de la probabilitat que es poden anomenar probabilitats "físiques" i "evidencials". Les probabilitats físiques, que també s'anomenen probabilitats objectives o de freqüència, s'associen amb sistemes físics aleatoris com ara ruletes, daus i àtoms radioactius. En aquests sistemes, un tipus d'esdeveniment determinat (com ara un die que dóna un sis) tendeix a ocórrer a una taxa persistent, o "freqüència relativa", en una llarga sèrie d'assajos. Les probabilitats físiques expliquen, o s'invoquen per explicar, aquestes freqüències estables. Els dos tipus principals de teoria de la probabilitat física són les explicacions freqüentistes (com les de Venn,[4] Reichenbach[5] i von Mises)[6] i les explicacions de propensió (com les de Popper, Miller, Giere i Fetzer).[7]

La probabilitat evidencial, també anomenada probabilitat bayesiana, es pot assignar a qualsevol afirmació, fins i tot quan no hi ha cap procés aleatori implicat, com a manera de representar la seva plausibilitat subjectiva racional, o el grau en què l'afirmació està recolzada per l'evidència disponible. En la majoria dels casos, les probabilitats evidencials es consideren graus racionals de creença, definits en termes de disposicions a jugar a certes probabilitats. Les quatre principals interpretacions evidencials són la interpretació clàssica (per exemple, la de Laplace) , la interpretació subjectiva (de Finetti[8] i Savage),[9] la interpretació epistèmica o inductiva (Ramsey,[10] Cox)[11] i la interpretació lògica (Keynes[12] i Carnap).[13] També hi ha interpretacions evidencials de la probabilitat que cobreixen grups, que sovint s'etiqueten com a "intersubjectives" (proposades per Gillies[14] i Rowbottom).[15]

Algunes interpretacions de la probabilitat s'associen amb enfocaments de la inferència estadística, incloent-hi teories d'estimació i proves d'hipòtesis. La interpretació física, per exemple, la prenen els seguidors dels mètodes estadístics "freqüentistes", com ara Ronald Fisher , Jerzy Neyman i Egon Pearson. Els estadístics de l'escola bayesiana, oposada, solen acceptar la interpretació de la freqüència quan té sentit (encara que no com a definició), però hi ha menys acord pel que fa a les probabilitats físiques. Els bayesians consideren que el càlcul de probabilitats evidencials és vàlid i necessari en estadística. Aquest article, però, se centra en les interpretacions de la probabilitat més que no pas en les teories de la inferència estadística.

La terminologia d'aquest tema és força confusa, en part perquè les probabilitats s'estudien en una varietat de camps acadèmics. La paraula "freqüentista" és especialment complicada. Per als filòsofs es refereix a una teoria particular de la probabilitat física, que ha estat més o menys abandonada. Per als científics, en canvi, "probabilitat freqüentista" és només un altre nom per a la probabilitat física (o objectiva). Els que promouen la inferència bayesiana veuen l'"estadística freqüentista" com un enfocament de la inferència estadística que es basa en la interpretació de la freqüència de la probabilitat, generalment basant-se en la llei dels grans nombres i caracteritzat pel que s'anomena "prova de significació d'hipòtesi nul·la" (NHST). A més, la paraula "objectiu", aplicada a la probabilitat, de vegades significa exactament el que significa "físic" aquí, però també s'utilitza per a probabilitats evidencials que estan fixades per restriccions racionals, com ara probabilitats lògiques i epistèmiques.

Filosofia

[modifica]

La filosofia de la probabilitat presenta problemes principalment en qüestions d'epistemologia i la difícil interfície entre els conceptes matemàtics i el llenguatge ordinari tal com l'utilitzen els no matemàtics. La teoria de la probabilitat és un camp d'estudi establert en matemàtiques. Té els seus orígens en la correspondència que discutia les matemàtiques dels jocs d'atzar entre Blaise Pascal i Pierre de Fermat al segle XVII,[16] i va ser formalitzada i convertida en axiomàtica com una branca diferent de les matemàtiques per Andrey Kolmogorov al segle XX. En forma axiomàtica, els enunciats matemàtics sobre la teoria de la probabilitat tenen el mateix tipus de confiança epistemològica dins de la filosofia de les matemàtiques que comparteixen altres enunciats matemàtics.[17][18]

L'anàlisi matemàtica es va originar en observacions del comportament d'equips de joc com ara cartes i daus, que estan dissenyats específicament per introduir elements aleatoris i igualats; en termes matemàtics, són subjectes d'indiferència. Aquesta no és l'única manera com s'utilitzen les afirmacions probabilístiques en el llenguatge humà ordinari: quan la gent diu que " probablement plourà ", normalment no volen dir que el resultat de la pluja versus la no pluja sigui un factor aleatori que les probabilitats afavoreixen actualment; en canvi, aquestes afirmacions s'entenen potser millor com a qualificació de la seva expectativa de pluja amb un cert grau de confiança. De la mateixa manera, quan s'escriu que "l'explicació més probable" del nom de Ludlow, Massachusetts "és que va rebre el nom de Roger Ludlow", el que es vol dir aquí no és que Roger Ludlow estigui afavorit per un factor aleatori, sinó que aquesta és l'explicació més plausible de l'evidència, que admet altres explicacions menys probables.

Thomas Bayes va intentar proporcionar una lògica que pogués gestionar diversos graus de confiança; com a tal, la probabilitat bayesiana és un intent de reformular la representació de les afirmacions probabilístiques com una expressió del grau de confiança amb què es mantenen les creences que expressen.

Tot i que inicialment la probabilitat tenia motivacions una mica mundanes, la seva influència i ús moderns són molt estesos, des de la medicina basada en l'evidència, passant per la teoria de sis sigma, fins a la demostració probabilísticament comprovable i el panorama de la teoria de cordes.

Un resum d'algunes interpretacions de la probabilitat [19]

Clàssic Freqüentista Subjectiu Propensió
Hipòtesi principal Principi d'indiferència Freqüència d'aparició Grau de creença Grau de connexió causal
Base conceptual Simetria hipotètica Dades passades i classe de referència Coneixement i intuïció Estat actual del sistema
Enfocament conceptual Conjectural Empíric Subjectiu Metafísic
Cas únic possible Sí No Sí Sí
Precís Sí No No Sí
Problemes Ambigüitat en el principi d'indiferència Definició circular Problema de classe de referència Concepte disputat

Definició clàssica

[modifica]

El primer intent de rigor matemàtic en el camp de la probabilitat, defensat per Pierre-Simon Laplace, es coneix ara com la definició clàssica. Desenvolupada a partir d'estudis de jocs d'atzar (com ara llançar daus ), afirma que la probabilitat es comparteix a parts iguals entre tots els resultats possibles, sempre que aquests resultats es puguin considerar igualment probables.[20](3.1)

La teoria de l'atzar consisteix a reduir tots els esdeveniments d'un mateix tipus a un nombre determinat de casos igualment possibles, és a dir, a aquells sobre els quals podem estar igualment indecisos pel que fa a la seva existència, i a determinar el nombre de casos favorables a l'esdeveniment la probabilitat del qual es busca. La proporció d'aquest nombre amb el de tots els casos possibles és la mesura d'aquesta probabilitat, que és, per tant, simplement una fracció el numerador de la qual és el nombre de casos favorables i el denominador és el nombre de tots els casos possibles.

— Pierre-Simon Laplace, Assaig filosòfic sobre probabilitats

La definició clàssica de probabilitat funciona bé per a situacions amb només un nombre finit de resultats igualment probables.

Això es pot representar matemàticament de la següent manera: si un experiment aleatori pot donar lloc a N resultats mútuament excloents i igualment probables, i si N A d'aquests resultats donen lloc a l'ocurrència de l'esdeveniment A, la probabilitat d' A es defineix per

Hi ha dues limitacions clares a la definició clàssica.[21] En primer lloc, només és aplicable a situacions en què només hi ha un nombre "finit" de resultats possibles. Però alguns experiments aleatoris importants, com ara llançar una moneda fins que mostri cara, donen lloc a un conjunt infinit de resultats. I en segon lloc, requereix una determinació a priori que tots els resultats possibles són igualment probables sense caure en un parany de raonament circular basant-se en la noció de probabilitat. (En utilitzar la terminologia "podem estar igualment indecisos", Laplace va assumir, pel que s'ha anomenat el "principi de raó insuficient", que tots els resultats possibles són igualment probables si no hi ha cap raó coneguda per suposar el contrari, per a la qual cosa no hi ha cap justificació òbvia.[22][23])

Freqüència

[modifica]
Per als freqüentistes, la probabilitat que la bola caigui en qualsevol tronera només es pot determinar mitjançant assaigs repetits en què el resultat observat convergeixi a la probabilitat subjacent a llarg termini.

Els freqüentistes postulen que la probabilitat d'un esdeveniment és la seva freqüència relativa al llarg del temps,[24](3.4), és a dir, la seva freqüència relativa d'ocurrència després de repetir un procés un gran nombre de vegades en condicions similars. Això també es coneix com a probabilitat aleatòria. Se suposa que els esdeveniments estan governats per alguns fenòmens físics aleatoris, que són o bé fenòmens que són predictibles, en principi, amb informació suficient (vegeu determinisme); o bé fenòmens que són essencialment imprevisibles. Exemples del primer tipus inclouen llançar daus o fer girar una ruleta; un exemple del segon tipus és la desintegració radioactiva. En el cas de llançar una moneda justa, els freqüentistes diuen que la probabilitat de treure cara és 1/2, no perquè hi hagi dos resultats igualment probables, sinó perquè sèries repetides d'un gran nombre d'assajos demostren que la freqüència empírica convergeix al límit 1/2 a mesura que el nombre d'assajos tendeix a infinit.

Si denotem per el nombre d'ocurrències d'un esdeveniment en proves, aleshores si diem que .

La visió freqüentista té els seus propis problemes. Per descomptat, és impossible realitzar una infinitat de repeticions d'un experiment aleatori per determinar la probabilitat d'un esdeveniment. Però si només es realitza un nombre finit de repeticions del procés, apareixeran diferents freqüències relatives en diferents sèries d'assajos. Si aquestes freqüències relatives han de definir la probabilitat, la probabilitat serà lleugerament diferent cada vegada que es mesuri. Però la probabilitat real hauria de ser la mateixa cada vegada. Si reconeixem el fet que només podem mesurar una probabilitat amb algun error de mesura adjunt, encara tenim problemes, ja que l'error de mesura només es pot expressar com una probabilitat, el mateix concepte que intentem definir. Això fa que fins i tot la definició de freqüència sigui circular; vegeu per exemple "Quina és la probabilitat d'un terratrèmol?"[25]

Subjectivisme

[modifica]

Els subjectivistes, també coneguts com a bayesians o seguidors de la probabilitat epistèmica, donen a la noció de probabilitat un estatus subjectiu en considerar-la com una mesura del "grau racional de creença" de l'individu que avalua la incertesa d'una situació particular. La probabilitat epistèmica o subjectiva de vegades s'anomena credença, en contraposició al terme oportunitat per a una probabilitat de propensió.

Alguns exemples de probabilitat epistèmica són assignar una probabilitat a la proposició que una llei de la física proposada sigui certa o determinar la probabilitat que un sospitós hagi comès un delicte, basant-se en les proves presentades.

L'ús de la probabilitat bayesiana planteja el debat filosòfic sobre si pot contribuir a justificacions vàlides de la creença. Els bayesians assenyalen el treball de Ramsey [26] (p. 182) i de Finetti[27](p. 103) com a prova que les creences subjectives han de seguir les lleis de la probabilitat si volen ser coherents (racionals).[28]

L'evidència posa en dubte que els humans individuals apliquin rutinàriament creences coherents,[29][30] indicant que sovint no s'adhereixen a la probabilitat bayesiana.

L'ús de la probabilitat bayesiana implica especificar una probabilitat a priori. Això es pot obtenir considerant si la probabilitat a priori requerida és més gran o més petita que una probabilitat de referència. associat amb un model d'urna o un experiment mental. El problema és que per a un problema determinat, es podrien aplicar múltiples experiments mentals, i triar-ne un de vegades és una qüestió de criteri: diferents persones poden assignar diferents probabilitats a priori, conegudes com a problema de classe de referència. El "problema de la sortida del sol" n'és un exemple.

Propensió

[modifica]

Els teòrics de la propensió consideren la probabilitat com una propensió física, o disposició, o tendència d'un tipus determinat de situació física a produir un resultat d'un cert tipus o a produir una freqüència relativa a llarg termini d'aquest resultat.[31] Aquest tipus de probabilitat objectiva de vegades s'anomena "atzar".

Les propensions, o possibilitats, no són freqüències relatives, sinó suposades causes de les freqüències relatives estables observades. Les propensions s'invoquen per explicar per què la repetició d'un cert tipus d'experiment generarà determinats tipus de resultats a taxes persistents, que es coneixen com a propensions o possibilitats. Els freqüentistes no poden adoptar aquest enfocament, ja que les freqüències relatives no existeixen per a llançaments individuals d'una moneda, sinó només per a grans conjunts o col·lectius (vegeu "cas únic possible" a la taula anterior).[32] En canvi, un propensista pot utilitzar la llei dels grans nombres per explicar el comportament de les freqüències a llarg termini. Aquesta llei, que és una conseqüència dels axiomes de la probabilitat, diu que si (per exemple) es llança una moneda repetidament moltes vegades, de manera que la probabilitat que surti cara és la mateixa en cada llançament, i els resultats són probabilísticament independents, aleshores la freqüència relativa de cares serà propera a la probabilitat de cares en cada llançament individual. Aquesta llei permet que les freqüències estables a llarg termini siguin una manifestació de probabilitats invariants d'un sol cas. A més d'explicar l'aparició de freqüències relatives estables, la idea de propensió està motivada pel desig de donar sentit a les atribucions de probabilitat de casos únics en mecànica quàntica, com ara la probabilitat de desintegració d'un àtom concret en un moment concret.

El principal repte al qual s'enfronten les teories de la propensió és dir exactament què significa la propensió. (I després, és clar, demostrar que la propensió així definida té les propietats requerides.) Actualment, malauradament, cap de les explicacions ben reconegudes de la propensió s'acosta a superar aquest repte.

Charles Sanders Peirce va proposar una teoria de la propensió de la probabilitat.[33][34][35][36] Una teoria de la propensió posterior va ser proposada pel filòsof Karl Popper, que només tenia un coneixement superficial dels escrits de C. S. Peirce, però.[33][34] Popper va assenyalar que el resultat d'un experiment físic és produït per un cert conjunt de "condicions generadores". Quan repetim un experiment, com diu la dita, realment realitzem un altre experiment amb un conjunt (més o menys) similar de condicions generadores. Dir que un conjunt de condicions generadores té una propensió p de produir el resultat E significa que aquestes condicions exactes, si es repeteixen indefinidament, produirien una seqüència de resultats en què E es produís amb una freqüència relativa límit p. Per a Popper, doncs, un experiment determinista tindria una propensió 0 o 1 per a cada resultat, ja que aquestes condicions generadores tindrien el mateix resultat en cada assaig. En altres paraules, les propensions no trivials (les que difereixen de 0 i 1) només existeixen per a experiments genuïnament no deterministes.

Diversos altres filòsofs, com ara David Miller i Donald A. Gillies, han proposat teories de propensió similars a les de Popper.

Altres teòrics de la propensió (per exemple, Ronald Giere[37]) no defineixen explícitament les propensions, sinó que veuen la propensió definida pel paper teòric que juga en la ciència. Van argumentar, per exemple, que les magnituds físiques com la càrrega elèctrica tampoc es poden definir explícitament, en termes de coses més bàsiques, sinó només en termes del que fan (com ara atraure i repel·lir altres càrregues elèctriques). De manera similar, la propensió és allò que omple els diversos papers que juga la probabilitat física en la ciència.

Quin paper juga la probabilitat física en la ciència? Quines són les seves propietats? Una propietat central de l'atzar és que, quan es coneix, restringeix la creença racional a prendre el mateix valor numèric. David Lewis va anomenar això el Principi Principal,[38] (3.3 i 3.5), un terme que els filòsofs han adoptat majoritàriament. Per exemple, suposem que esteu segurs que una moneda esbiaixada en particular té una propensió de 0,32 a sortir cara cada vegada que es llança. Quin és llavors el preu correcte per a una aposta que paga 1 dòlar si la moneda surt cara, i res en cas contrari? Segons el Principi Principal, el preu just és de 32 centaus.

Probabilitat lògica, epistèmica i inductiva

[modifica]

És àmpliament reconegut que el terme "probabilitat" s'utilitza de vegades en contextos on no té res a veure amb l'aleatorietat física. Considerem, per exemple, l'afirmació que l'extinció dels dinosaures probablement va ser causada per un gran meteorit que va impactar contra la Terra. Afirmacions com ara "La hipòtesi H és probablement certa" s'han interpretat en el sentit que l'evidència empírica (actualment disponible) (E, per exemple) dóna suport a H en alt grau. Aquest grau de suport de H per E s'ha anomenat probabilitat lògica, epistèmica o inductiva de H donat E.

Les diferències entre aquestes interpretacions són força petites i poden semblar insignificants. Un dels principals punts de desacord rau en la relació entre probabilitat i creença. Les probabilitats lògiques es conceben (per exemple, al Tractat sobre la probabilitat de Keynes[39]) com a relacions objectives i lògiques entre proposicions (o oracions), i per tant no depenen de cap manera de la creença. Són graus d' implicació (parcial) o graus de conseqüència lògica, no graus de creença. (No obstant això, dicten graus de creença adequats, com es discuteix més endavant.) Frank P. Ramsey, en canvi, era escèptic sobre l'existència d'aquestes relacions lògiques objectives i argumentava que la probabilitat (evidencial) és "la lògica de la creença parcial".[40] (p. 157) En altres paraules, Ramsey sostenia que les probabilitats epistèmiques simplement són graus de creença racional, en lloc de ser relacions lògiques que simplement restringeixen els graus de creença racional.

Un altre punt de desacord té a veure amb la singularitat de la probabilitat evidencial, en relació amb un estat de coneixement determinat. Rudolf Carnap sostenia, per exemple, que els principis lògics sempre determinen una probabilitat lògica única per a qualsevol afirmació, en relació amb qualsevol conjunt d'evidències. Ramsey, en canvi, pensava que, si bé els graus de creença estan subjectes a algunes restriccions racionals (com ara, entre d'altres, els axiomes de probabilitat), aquestes restriccions no solen determinar un valor únic. En altres paraules, les persones racionals poden diferir una mica en els seus graus de creença, fins i tot si totes tenen la mateixa informació.

Predicció

[modifica]

Una explicació alternativa de la probabilitat emfatitza el paper de la predicció : predir observacions futures sobre la base d'observacions passades, no de paràmetres no observables. En la seva forma moderna, és principalment de la línia bayesiana. Aquesta era la funció principal de la probabilitat abans del segle XX,[41] però va perdre popularitat en comparació amb l'enfocament paramètric, que modelava els fenòmens com un sistema físic que s'observava amb error, com ara en la mecànica celeste.

L'enfocament predictiu modern va ser iniciat per Bruno de Finetti, amb la idea central de la intercanviabilitat: que les observacions futures s'haurien de comportar com les observacions passades.[42] Aquest punt de vista va cridar l'atenció del món anglòfon amb la traducció del llibre de de Finetti el 1974,[42] i des de llavors ha estat proposat per estadístics com Seymour Geisser.

Probabilitat axiomàtica

[modifica]

Les matemàtiques de la probabilitat es poden desenvolupar sobre una base completament axiomàtica que és independent de qualsevol interpretació: vegeu els articles sobre teoria de la probabilitat i axiomes de probabilitat per a un tractament detallat.

Referències

[modifica]
  1. ↑ Hájek, Alan. Interpretations of Probability (en anglès). Winter 2023. Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2023.
  2. ↑ , <http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/probability-interpret/>
  3. ↑ de Elía, Ramón; Laprise, René Monthly Weather Review, 133, 5, 2005, p. 1129–1143. Bibcode: 2005MWRv..133.1129D. DOI: 10.1175/mwr2913.1 [Consulta: free]. «"There are several schools of thought regarding the interpretation of probabilities, none of them without flaws, internal contradictions, or paradoxes." (p 1129) "There are no standard classifications of probability interpretations, and even the more popular ones may suffer subtle variations from text to text." (p 1130)»
  4. ↑ Venn, John. The Logic of Chance (en anglès). Londres: MacMillan, 1876.
  5. ↑ Reichenbach, Hans. The theory of probability, an inquiry into the logical and mathematical foundations of the calculus of probability. University of California Press, 1948. English translation of the original 1935 German. ASIN: B000R0D5MS
  6. ↑ Mises, Richard. Probability, statistics, and truth. New York: Dover Publications, 1981. ISBN 978-0-486-24214-9. English translation of the third German edition of 1951 which was published 30 years after the first German edition.
  7. ↑ Rowbottom, Darrell. Probability (en anglès). Cambridge: Polity, 2015. ISBN 978-0745652573.
  8. ↑ de Finetti, Bruno; H. E. Smokler. «Foresight: its Logical laws, its Subjective Sources». A: Kyburg. Studies in Subjective Probability. New York: Wiley, 1964, p. 93–158. Translation of the 1937 French original with later notes added.
  9. ↑ Savage, L.J.. The foundations of statistics (en anglès). New York: John Wiley & Sons, Inc., 1954. ISBN 978-0-486-62349-8.
  10. ↑ Ramsey, F. P.. «Chapter VII, Truth and Probability (1926)». A: Braithwaite. Foundations of Mathematics and Other Logical Essays. Londres: Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co., 1931, p. 156–198. Contains three chapters (essays) by Ramsey. The electronic version contains only those three.
  11. ↑ Cox, Richard Threlkeld. The algebra of probable inference (en anglès). Baltimore: Johns Hopkins Press, 1961.
  12. ↑ Keynes, John Maynard. A Treatise on Probability (en anglès). MacMillan, 1921.
  13. ↑ Carnap, Rudolph. Logical Foundations of Probability. Chicago: University of Chicago Press, 1950. Carnap coined the notion "probability1" and "probability2" for evidential and physical probability, respectively.
  14. ↑ Gillies, Donald. Philosophical theories of probability (en anglès). London New York: Routledge, 2000. ISBN 978-0415182768.
  15. ↑ Rowbottom, Darrell. Probability (en anglès). Cambridge: Polity, 2015. ISBN 978-0745652573.
  16. ↑ Fermat and Pascal on Probability (@ socsci.uci.edu)
  17. ↑ Laszlo E. Szabo, A Physicalist Interpretation of Probability Arxivat 4 March 2016 a Wayback Machine. (Talk presented on the Philosophy of Science Seminar, Eötvös, Budapest, 8 October 2001.)
  18. ↑ Laszlo E. Szabo, Objective probability-like things with and without objective indeterminism, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 38 (2007) 626–634 (Preprint)
  19. ↑ de Elía, Ramón; Laprise, René Monthly Weather Review, 133, 5, 2005, p. 1129–1143. Bibcode: 2005MWRv..133.1129D. DOI: 10.1175/mwr2913.1 [Consulta: free]. «"There are several schools of thought regarding the interpretation of probabilities, none of them without flaws, internal contradictions, or paradoxes." (p 1129) "There are no standard classifications of probability interpretations, and even the more popular ones may suffer subtle variations from text to text." (p 1130)»
  20. ↑ , <http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/probability-interpret/>
  21. ↑ Spanos, Aris. Statistical foundations of econometric modelling (en anglès). Cambridge New York: Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0521269124.
  22. ↑ Simon French. Decision Behaviour, Analysis and Support (en anglès). Cambridge University Press, 2009, p. 221. ISBN 978-1-139-48098-7.
  23. ↑ Nils-Eric Sahlin. «2. On Higher Order Beliefs». A: J. P. Dubucs. Philosophy of Probability (en anglès). Springer, 2013, p. 30. ISBN 978-94-015-8208-7.
  24. ↑ , <http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/probability-interpret/>
  25. ↑ Freedman, David and Philip B. Stark (2003)"What is the Chance of an Earthquake?" Earthquake Science and Seismic Risk.
  26. ↑ Ramsey, F. P.. «Chapter VII, Truth and Probability (1926)». A: Braithwaite. Foundations of Mathematics and Other Logical Essays. Londres: Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co., 1931, p. 156–198. Contains three chapters (essays) by Ramsey. The electronic version contains only those three.
  27. ↑ de Finetti, Bruno; H. E. Smokler. «Foresight: its Logical laws, its Subjective Sources». A: Kyburg. Studies in Subjective Probability. New York: Wiley, 1964, p. 93–158. Translation of the 1937 French original with later notes added.
  28. ↑ Jaynes, E. T.. Probability theory the logic of science (en anglès). Cambridge, UK New York, NY: Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0521592710.
  29. ↑ Kahneman, Daniel. Thinking, fast and slow. New York: Farrar, Straus and Giroux, 2011. ISBN 978-0374275631. The book contains numerous examples of the difference between idealized and actual thought. "[W]hen called upon to judge probability, people actually judge something else and believe they have judged probability." (p 98)
  30. ↑ Grove, William M.; Meehl, Paul E. Psychology, Public Policy, and Law, 2, 2, 1996, p. 293–332. DOI: 10.1037/1076-8971.2.2.293. Statistical decisions are consistently superior to the subjective decisions of experts.
  31. ↑ Peterson, Martin. An introduction to decision theory (en anglès). Cambridge, UK New York: Cambridge University Press, 2009, p. 140. ISBN 978-0521716543.
  32. ↑ de Elía, Ramón; Laprise, René Monthly Weather Review, 133, 5, 2005, p. 1129–1143. Bibcode: 2005MWRv..133.1129D. DOI: 10.1175/mwr2913.1 [Consulta: free]. «"There are several schools of thought regarding the interpretation of probabilities, none of them without flaws, internal contradictions, or paradoxes." (p 1129) "There are no standard classifications of probability interpretations, and even the more popular ones may suffer subtle variations from text to text." (p 1130)»
  33. 1 2 Miller, Richard W. British Journal for the Philosophy of Science, 26, 2, 1975, p. 123–132. DOI: 10.1093/bjps/26.2.123.
  34. 1 2 Haack, Susan; Kolenda, Konstantin, Konstantin; Kolenda Proceedings of the Aristotelian Society, 51, Supplementary Volumes, 1977, p. 63–104. DOI: 10.1093/aristoteliansupp/51.1.63. JSTOR: 4106816.
  35. ↑ Burks, Arthur W. Chance, Cause and Reason: An Inquiry into the Nature of Scientific Evidence (en anglès). University of Chicago Press, 1978, p. 694 pages. ISBN 978-0-226-08087-1.
  36. ↑ Peirce, Charles Sanders and Burks, Arthur W., ed. (1958), the Collected Papers of Charles Sanders Peirce Volumes 7 and 8, Harvard University Press, Cambridge, MA, also Belnap Press (of Harvard University Press) edition, vols. 7-8 bound together, 798 pages, online via InteLex, reprinted in 1998 Thoemmes Continuum.
  37. ↑ Ronald N. Giere. «Objective Single Case Probabilities and the Foundations of Statistics». A: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (en anglès). 73. Elsevier, 1973, p. 467–483. DOI 10.1016/S0049-237X(09)70380-5. ISBN 978-0-444-10491-5.
  38. ↑ , <http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/probability-interpret/>
  39. ↑ Keynes, John Maynard. A Treatise on Probability (en anglès). MacMillan, 1921.
  40. ↑ Ramsey, F. P.. «Chapter VII, Truth and Probability (1926)». A: Braithwaite. Foundations of Mathematics and Other Logical Essays. Londres: Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co., 1931, p. 156–198. Contains three chapters (essays) by Ramsey. The electronic version contains only those three.
  41. ↑ Geisser, Seymour. Predictive Inference (en anglès). CRC Press, 1993. ISBN 978-0-412-03471-8.
  42. 1 2 Geisser, Seymour. Predictive Inference (en anglès). CRC Press, 1993. ISBN 978-0-412-03471-8.
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Interpretacions_de_probabilitat&oldid=37927631»