Límit

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca


En matemàtiques, la noció de límit és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Amb l'objectiu de donar-ne una introducció simple, en aquest article es tracta només el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Límit d'una successió[modifica | modifica el codi]

Introducció[modifica | modifica el codi]

Les successions són les funcions amb domini de definició , o, a vegades (sobretot en anàlisi de Fourier). Aquí tractarem només el primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a mitjançant diferents punts de ℕ. Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a ; l'anomenarem «límit de la successió».

Definició, convergència, divergència[modifica | modifica el codi]

  • Cas del límit finit : per a tot «descart de tolerància» existeix un «enter de confidència» tal que, per a tot n més gran que , el valor és prop de l per a menys de ε: .

Quan existeix, el límit l és únic; s'escriu llavors , i es diu que tendeix (o també convergeix) cap a l.

Una successió que admet un límit finit és anomenada convergent. Hom té el teorema següent: Cada successió convergent és fitada.

  • Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A) i B) .

Per a cada « llindar de tolerància » cal que es pugui trobar un « enter de confidència » a partir del qual els valors de siguin superiors a i els es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

  • per a
  • per a .

A més, en el cas A) i en el cas B) .

Se diu llavors que tendeix (o divergeix) a: A) , B) .

NB: Es parla de successió convergent només quan una successió admet un límit finit, de successió divergent en els casos A) i B), de successió indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot també parlar de límit quan . Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on però els poden canviar signe de manera arbitrària.

Sub-successions[modifica | modifica el codi]

Es parla de sub-successió de la successió quan se seleccionen "només uns quants" elements de : així es considera només una part de la informació. L'exemple més clàssic és aquell de les sub-successions dels termes de rang parell, i dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme « extracció » cada aplicació estrictament creixent. Llavors una sub-successió és una successió de la forma .

Una proprietat important és que una successió admet límit (finit o infinit) si i només si cada sub-successió admet el mateix límit.

Linealitat del passatge al límit[modifica | modifica el codi]

L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (xn) i (yn) són unes successions reals convergents i tals que lim xn = L i lim yn = P, llavors

  • la successió (xn + yn) convergeix a L + P.
  • Si a és un nombre real, llavors la successió (a xn) convergeix a aL.

Així, el conjunt C de totes les successions reals convergents és un espai vectorial real i l'operació de passatge al límit és una forma lineal real sobre C. Si (xn) i (yn) són unes successions reals convergents amb límits L i P respectivament, llavors la successió (xnyn) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C és de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar tal que la successió (xn/yn), amb és bé definita i convergent amb límit L/P.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit. Si (xn) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada successió de Cauchy de nombres reals és convergent, o més simplement: el conjunt dels nombres reals és complet.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
  • La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
  • La successió no és convergent, però les seves sub-successions i ho són.
  • La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit .
  • La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de sèrie geomètrica.
  • Si a és un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successió de terme general an té límit 0.
  • Si a >0, llavors la successió de terme general a1/n té límit igual a 1.
  • La successió convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successió convergeix a .

Límits de funcions[modifica | modifica el codi]

Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

Límit d'una funció a un punt a[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui  :


= ⇔ ∀ε>0, ∃ > 0 / ∣f(x)-L∣ < ε, ∀x ∈ (a- ,a) ∪ (a, a+)

Límits finits[modifica | modifica el codi]

Si és una funció real de variable real i un punt del domini de definició de f, es diu que és el límit de en si :

  • intuïtivament, s'acosta a en la mesura que s'acosta a  ;
  • amb més rigor, per a tot « descart de tolerància » es pot trobar un « descart de confidència » tal que, quan és prop de a menys de , llavors és prop de a menys de .

En símbols:

(il·lustració 1)

En altres mots, es pot fer tant prop de que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de .

En aquest cas, s'escriu .

Límits infinits[modifica | modifica el codi]

Pot també succeir que al punt la funció no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a el valor de "s'acosta" a o a ; és a dir, esdeven grand[Cal aclariment] quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de ) o negatiu ().

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància » es pot trobar un « descart de confidència » tal que, dès que és prop de a menys de , llavors és major que i es manten de signe constant: i: per al cas del límit , per al cas del límit .

(il·lustració 2)

En altres mots, es pot fer tant prop de que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de .

En aquest cas s'escriu (o ).

Infinit sense signe[modifica | modifica el codi]

NB: També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'anàlisi complexa), es pot parlar de límit , quan . Això resumeix els casos i, a més, el cas on però pot canviar signe de manera arbitrària. Això no pot succeir per a funcions contínues en .

Límits per l'esquerra, per la dreta[modifica | modifica el codi]

Pot succeir també que el comportament local de la funció sigui different « per l'esquerra » de (és a dir per a les ) i « per la dreta » de (és a dir per a les ). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

(il·lustració 3)

Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de amb o és demanada només per a un costat de . Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

  • per al límit per l'esquerra :
quan
quan
  • per al límit per la dreta :
quan
quan

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt si i només si té un límit per l'esquerra i un límit per la dreta i aquests són iguals :

Límit d'una funció a l'infinit[modifica | modifica el codi]

Ara considerem el comportament d'una funció f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- « als límits » del domini de definicó, sigui quan creix indefinidament (límit en ), sigui quan decreix indefinidament (límit en ).

Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els límits en són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en són sempre uns límits per la dreta.

Límits finits[modifica | modifica el codi]

El límit de una funció a més infinit és L si, per a tot ε > 0 existeix S > 0; tal que |f(x)-L| < ε per a tot x > S.

Direm que la funció admet el límit finit en si s'acosta a en la mesura que esdeven més gran (o « tendeix a  »).

Matemàticament, això és traduït mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància » es pot trobar una « llindar de confidència » després de la qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre i radi , és a dir:

En altres mots, es pot fer tant prop de que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu .

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en  : es diu que tendeix a quan tendeix a si per a tot descart es pot trobar una llindar tal que: , i s'escriurà .

Límits infinits[modifica | modifica el codi]

Direm que la funció admet el límit en si esdevé arbitràriament gran en la mesura que esdevé més gran (o « tendeix a  »). De més, resta amb signe positiu () o negatiu () per a tals x. La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit .

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » es pot trobar un «llindar de confidència» després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir (cas ), (cas ) o (cas ).

(il·lustració 5)

En altres mots, es pot fer tant prop de (o ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu o .

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en  : direm que la funció admet el límit en si esdeven arbitràriament gran en la mesura que esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o « tendeix a  »). De més, resta amb signe positiu () o negatiu () per a tals x.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit .

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » es pot trobar un « llindar de confidència » abans del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir (cas ), (cas ) o (cas ).

(il·lustració 6)

En altres mots, es pot fer tant prop de (o ) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu o .

L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les funcions de variable real, en el sentit següent: sigui x0 un punt de la dreta real acabada, és a dir un nombre real finit o .

  • Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x0, llavors també la funció f+g hi admet límit, i aquest límit és L+P.
  • Si a és un nombre real, llavors la funció a f admet límit a x0, i aquest límit és aL.

Així, el conjunt K de totes les funcions que admeten límit a x0 és un espai vectorial real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre K.

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x0, llavors també la funció fg hi admet límit, i aquest límit és LP, així l'espai vectorial K es de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x0 on f/g està ben definida; el seu límit a x0 és L/P.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • El límit de quan x tendeix a és igual a 0.
Clau de la demostració per a : si , llavors .
  • El límit per la dreta de quan x tendeix a 0 (0+) és .
Clau de la demostració: si , llavors .
  • El límit per l'esquerra de quan x tendeix a 0 (0-) és .
  • El límit (bilateral) de quan x tendeix a 0 és sense signe, és a dir tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que . Recordeu que

sense signe és més utilitzat en anàlisi complexa. Vegeu també la nota anterior.

  • El límit de quan x tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).
Clau de la demostració: si , llavors .
  • El límit de quan x tendeix a 0 és igual a 1.
  • El límit de quan x tendeix a 0 és igual a 2a.
  • El límit per la dreta de quan x tendeix a 0 és igual a 1; el límit per l'esquerra és igual a -1.
  • El límit de quan x tendeix a 0 és igual a 1.
  • El límit de quan x tendeix a 0 és igual a 0.
  • El límit de quan x tendeix a 0 és igual a -1/2.
  • El límit de quan x tendeix a 0 és igual a 2.
  • El límit de quan x tendeix a 0 és igual a 1.

Lligam entre els límits de successions i de funcions[modifica | modifica el codi]

Es pot provar que per a cada successió tal que , és a dir per a cada successió convergent a .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]