Límit (teoria de categories)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Abans de definir el límit d'un functor covariant hem de definir el con (en el sentit teoria de categories, de con ) d'un functor (covariant) F: J  \rightarrow C, ajudant-nos del diagrama de baix, que consta de:

  • Dues objectes de la categoria J: X i Y.
  • Un morfisme f, d'aquesta categoria, f: X  \rightarrow I
  • Les imatges per F dels dos objectes X i Y.
  • La "F-imatge" del morfisme f (imatge de f per F: F (f)).
  • Un objecte L de la categoria C, "vèrtex" del "con".
  • Els conjunts de morfismes X i Y (en diem igual que els objectes X i Y), que consten de tots els morfismes des de L a F (X), i des de L cap a F (I).

Exemple


Si l'objecte en J és X, en la definició de con que donem diem "X" també al conjunt de fletxes que van de l'objecte L sobre el qual fem el con cap a aquest X. A més, el con sobre l el denotarem així: (L, X), volent dir que fem la col·lecció de totes les famílies de fletxes que apunten des de L, és a dir, aquests conjunts de fletxes "X" en la categoria codomino del functor F i que hem anomenat "diverses" per a suggerir que poden ser diverses.

Un límit del functor F és llavors un "con universal". És a dir, un con (L, X) de F diem que és un límit per al funtor F si i només si per a tot altre con (N, X) de F, hi ha només un morfisme o: N  \rightarrow L tal que X · o = X.

És a dir, podem dir que els morfismes X factoritzar a través de L amb la factorització única u.

La definició de colímite i de co-con és la de dalt però amb totes les fletxes "al revés". Hauria explicitar.