Límit (teoria de categories)

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

Abans de definir el límit d'un functor covariant s'ha de definir el con (en el sentit teoria de categories, de la teoria de categories) d'un functor (covariant)

F: J C,

ajudant-se amb el diagrama de baix, que consta de:

  • Dos objectes de la categoria J: X i Y.
  • Un morfisme f, d'aquesta categoria, f: X I
  • Les imatges per F dels dos objectes X i Y.
  • La "F-imatge" del morfisme f (imatge de f per F: F (f)).
  • Un objecte L de la categoria C, "vèrtex" del "con".
  • Els conjunts de morfismes X i Y (es diuen igual que els objectes X i Y), que consten de tots els morfismes des de L a F (X), i des de L cap a F (I).

Exemple

Si l'objecte en J és X, en la definició de con que donem es diu "X" també al conjunt de fletxes que van de l'objecte L sobre el qual es fa el con cap a aquest X. A més, el con sobre l es denota així: (L, X), volent dir que es fa la col·lecció de totes les famílies de fletxes que apunten des de L, és a dir, aquests conjunts de fletxes "X" en la categoria codomini del functor F i que s'han anomenat "diverses" per a suggerir que poden ser diverses.

Un límit del functor F és llavors un "con universal". És a dir, un con (L, X) de F es diu que és un límit per al functor F si i només si per a tot altre con (N, X) de F hi ha només un morfisme o: N L tal que X · o = X.

És a dir, es pot dir que els morfismes X factoritzen a través de L amb la factorització única u.

La definició de colímit i de co-con és la de dalt però amb totes les fletxes en direcció inversa.