Llei de Curie

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A un material paramagnètic, la magnetització del material és (aproximadament) directament proporcional al camp magnètic aplicat externament. Si el material s'encalenteix, aquesta proporcionalitat es redueix: per a un camp extern donat, la magnetització és (aproximadament) inversament proporcional a la temperatura. Aquest fet constitueix la llei de Curie:

on

és la magnetització resultant.
és el camp magnètic, mesurat en teslas
és la temperatura absoluta, mesurada en kèlvins
és la constant de Curie i el seu valor depèn del material.

Aquesta relació va ser descoberta experimentalment (ajustant els resultats a un model endevinat correctament) per Pierre Curie. Només és vàlida a altes temperatures o per a camps magnètics dèbils. Tal com les derivacions de sota mostren, la magnetització satura en els límits de baixes temperatures o camps magnètics forts.

Derivació usant mecànica quàntica[modifica | modifica el codi]

Magnetització d'un material paramagnètic en funció de l'invers de la temperatura.

Un model matemàtic simple d'un material paramagnètic és el que descriu el material com a format per partícules que no interaccionen entre si. Cada partícula té un moment magnètic donat per . L'energia d'un moment magnètic en un camp magnètic és

Partícules de dos estats (espín-1/2)[modifica | modifica el codi]

Per simplificar els càlculs, considerem una partícula de dos estats: pot alinear el seu moment magnètic amb el camp, o contra el camp. Per tant, els únics valors possibles del moment magnètic són i . Una partícula tal només té dues possibles energies:

i

Quan s'intenta calcular la magnetització d'un material paramagnètic, la quantitat a tenir en compte és la probabilitat que una partícula s'alinei amb el camp. En altres paraules, el valor esperat de la magnetització :

on la probabilitat d'una configuració determinada ve donada pel seu factor de Boltzmann, i la funció de partició aporta la normalització (perquè la suma de totes sigui unitat). La funció de partició per a una partícula és:

Per tant, en aquest cas tenim:

Això és la magnetització d'una sola partícula. La magnetització total del sòlid és:

La fórmula de dalt és coneguda com a l'equació paramagnètica de Langevin. Pierre Curie va trobar una aproximació per a aquesta llei que és vàlida per a les altes temperatures i els camps magnètics dèbils que usava en els seus experiments. Ara derivarem aquesta llei considerant gran i petit. Tal com la temperature augmenta i el camp disminueix, l'argument de la tangent hiperbòlica decreix. Una forma alternativa de dir això és

que a vegades s'anomena el límit de Curie. També sabem que, si , aleshores

i per tant

amb una constant de Curie donada per . En el límit oposat de baixes temperatures i camps grans, tendeix a un valor màxim de , que correspon a totes les partícules alineades amb el camp.

Cas general[modifica | modifica el codi]

Quan les partícules tenen un espín arbitrari (un nombre qualsevol d'estats d'espín), la fórmula és més complicada. A camps magnètics petits o a altes temperatures, l'espín segueix la llei de Curie amb

[1]

on és el nombre quàntic de moment angular total i és el factor g de l'espín (tal que és el moment magnètic).

Per a aquesta fórmula més general i la seva derivació (incloent camp alt i baixes temperatures), vegeu l'article: funció de Brillouin. Tal com l'espín s'acosta a infinit, la fórmula per a la magnetització tendeix al valor clàssic, derivat a la següent secció.

Derivació usant mecànica estadística clàssica[modifica | modifica el codi]

Un tractament alternatiu és possible quan els components del material paramagnètic es tracten de forma clàssica com a moments magnètics girant de forma lliure. En aquest cas, la seva posició queda definida pels seus angles en coordenades esfèriques, i l'energia d'un d'aquests és:

on és l'angle entre el moment magnètic i el camp magnètic (que consideram apuntant en la direcció ). La funció de partició corresponent és:

Podem observar que no hi ha dependència en l'angle , i podem canviar variables per obtenir

Ara el valor esperat del component de la magnetització (els altres dos són zero degut a la integració respecte a ) serà:

Per simplificar els càlculs podem reescriure l'expressió anterior com a la derivada de :

(Aquesta forma de resoldre el problema també es pot usar pel model de dalt, però en aquell cas la derivació donada és la més senzilla.)

Si calculam la derivada trobam:

on és la funció de Langevin:

Aquesta funció podria semblar singular per a petit, però no ho és, ja que els dos termes singular es cancel·len mútuament. De fet, per a arguments petits tenim , i per tant el límit de Curie també apareix, però amb una constant de Curie tres vegades més petita en aquest cas. De forma semblant, la funció satura a per a valors grans de l'argument, i també recuperam aquest límit.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

La llei de Curie és la base del funcionament dels termòmetres magnètics, que s'usen per mesurar temperatures molt baixes.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics, 8th Edition. Wiley, p. 304. ISBN 0-471-41526-X.