Llei de Hooke

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En mecànica dels medis continus, la llei de Hooke enunciada el 1660 per el físic anglès Robert Hooke (1635-1703) indica que quan un sòlid és sotmès a una força de tracció externa, es deforma en proporció direct entra la força aplicada i l'allargament. Per estabilitzar aquesta deformació, s'equilibren les forces internes del sòlid amb les externes.[1]

La llei de Hooke és la relació entre les forces externes sobre un sòlid elàstic amb les deformacions que experimenta el sòlid. Com més grans són les forces aplicades sobre el sòlid, més grans són les deformacions provocades i a més són proporcionals. Si per exemple, s'aplica una força F, hi ha una deformació d'allargament (D), i si s'aplica una força 2F s'obtindrà un allargament 2(D). Aquesta llei no es compleix quan la força aplicada és superior al límit elàstic. Si s'entra en la zona plàstica, les deformacions deixen de ser proporcionals a la força aplicada.[2]

L'expressió de la deformació és:

 \epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AE}

Llei de Hooke per als ressorts[modifica | modifica el codi]

La forma més comuna de representar matemàticament la Llei de Hooke és mitjançant l'equació del moll o ressort , on es relaciona la força Fexercida pel ressort amb la elongació o allargament provocat per la força externa aplicada a l'extrem del mateix:

F = - k\delta \,

on kes diu constant elàstica del ressort i \deltaés la seva elongació o variació que experimenta la seva longitud.

L'energia de deformació o energia potencial elàstica U_kassociada al estirament de la molla ve donada per la següent equació:

U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2

És important notar que la kabans definida depèn de la longitud de la molla i de la seva constitució. Definirem ara una constant intrínseca del ressort independent de la longitud d'aquest i establirem així la llei diferencial constitutiva d'un moll. Multiplicant kper la longitud total, i trucant al productek_i o kintrínseca, es té:

k=\frac{k_i}{L}

AnomenaremF(x) a la tensió en una secció del moll situada una distància x d'un dels seus extrems que prenem com a origen de coordenades, k_{\Delta x}a la constant d'un petit tros de moll de longitud \Delta xa la mateixa distància i \delta_{\Delta x}l'allargament d'aquest petit tros en virtut de l'aplicació de la força . Per la llei del moll complet:

F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}

Prenent el límit:

F(x)=-k_i\frac{{\delta}_{dx}}{dx}

que pel principi de superposició resulta:

F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}

Que és l'equació diferencial del moll. Si s'integra per a tot , s'obté com equació d'ona unidimensional que descriu els fenòmens ondulatoris (Veure: Moll elàstic ). La velocitat de propagació de les vibracions en un ressort es calcula com:

c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}

Llei de Hooke en sòlids elàstics [modifica | modifica el codi]

A la mecànica de sòlids deformables elàstics la distribució de tensions és molt més complicada que en un ressort o una barra estirada només segons el seu eix. La deformacióen el cas més general necessita ser descrita mitjançant un tensor de deformacions mentre que els esforços interns en el material necessiten ser representats per un tensor de tensions . Aquests dos tensors estan relacionats per equacions lineals conegudes per equacions d'Hooke generalitzades o equacions de Lamé-Hooke , que són lesequacions constitutives que caracteritzen el comportament d'un sòlid elàstic lineal. Aquestes equacions tenen la forma general :

\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,

Gran part de les estructures d'enginyeria són dissenyades per patir deformacions petites, s'involucren només en la recta de l'diagrama d'esforç i deformació.

De tal manera que la deformació \epsilonés una quantitat adimensional, el mòdul Es'expressa en les mateixes unitats que l'esforç \sigma(unitats pa, psi i ksi). El màxim valor de l'esforç per al qual pot emprar-se la llei de Hooke en un material és conegut com a límit de proporcionalitat d'un material. En aquest cas, els materials dúctils que posseeixen un punt de cedència definit; en certs materials no pot definir-se la proporcionalitat de cedència fàcilment, ja que és difícil determinar amb precisió el valor de l'esforç \sigmaper al qual la similitud entre\sigma i \epsilondeixi de ser lineal. En utilitzar la llei de Hooke en valors més grans que el límit de proporcionalitat no conduirà a cap error significatiu. En resistència de materials s'involucra en les propietats físiques de materials, com a resistència, ductilitat i resistència de corrosió; que poden afectar a causa de l'aliatge, el tractament tèrmic i el procés de manofactura.

Cas unidimensional[modifica | modifica el codi]

En el cas d'un problema unidimensional on les deformacions o tensions en direccions perpendiculars a una adreça donada són irrellevants o es poden ignorar \sigma = \sigma_{11}\epsilon = \epsilon_{11}, C_{11} = E i l'equació anterior es redueix a:

\sigma = E\epsilon \,

on Eés el mòdul de Young .

Cas tridimensional isòtrop[modifica | modifica el codi]

Per caracteritzar el comportament d'un sòlid elàstic lineal i isòtrop es requereixen a més del mòdul de Young una altra constant elàstica, anomenada coeficient de Poisson (v).D'altra banda, les equacions de Lamé-Hooke per a un sòlid elàstic lineal i isòtrop poden ser deduïdes del teorema de Rivlin-Ericksen , que poden escriure en la forma:

\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}
\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}
\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}

En forma matricial, en termes del mòdul de Young i el coeficient de Poisson com:

\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{xx}\\
 \varepsilon_{yy}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\
 -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\
 -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} \\
 & & & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 & 0 \\
 & & & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 \\
 & & & 0 & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \sigma_{xx}\\
 \sigma_{yy}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}

Les relacions inverses vénen donades per:

\begin{pmatrix}
 \sigma_{xx}\\
 \sigma_{yy}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\frac{E}{1+\nu}
\begin{pmatrix}
 \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\
 \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\
 \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & & & \\
 & & & 1 & 0 & 0 \\
 & & & 0 & 1 & 0 \\
 & & & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{xx}\\
 \varepsilon_{yy}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}

Cas tridimensional ortòtrop[modifica | modifica el codi]

El comportament elàstic d'un material ortotrópico queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal (E_x, E_y, E_z), 3 mòduls de rigidesa(G_{xy}, G_{yz}, G_{zx}) i 3 coeficients de Poisson(\nu_{xy}, \nu_{yx}, \nu_{zx}) . De fet per a un material ortotrópico la relació entre les components del tensor tensió i les components del tensor deformació ve donada per:

\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{xx}\\
 \varepsilon_{yy}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \frac{1}{E_x} & -\frac{\nu_{yx}}{E_y} & -\frac{\nu_{zx}}{E_z} & & & \\
 -\frac{\nu_{xy}}{E_x} & \frac{1}{E_y} & -\frac{\nu_{zy}}{E_z} & & & \\
 -\frac{\nu_{xz}}{E_x} & -\frac{\nu_{yz}}{E_y} & \frac{1}{E_z} \\
 & & & \frac{1}{2G_{xy}} & 0 & 0 \\
 & & & 0 & \frac{1}{2G_{xz}} & 0 \\
 & & & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{yz}} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \sigma_{xx}\\
 \sigma_{yy}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}


On: Com es pot veure les components que governen l'allargament i les que governen la distorsió estan desacoblades, la qual cosa significa que en general és possible produir allargaments al voltant d'un punt sense provocar distorsions i viceversa. Les equacions inverses que donen les deformacions en funció de les tensions prenen una forma una mica més complicada:\frac{\nu_{yx}}{E_y} = \frac{\nu_{xy}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{zx}}{E_z} = \frac{\nu_{xz}}{E_x} \qquad
\frac{\nu_{yz}}{E_y} = \frac{\nu_{zy}}{E_z} \qquad (*)

\begin{pmatrix}
 \sigma_{xx}\\
 \sigma_{yy}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \frac{1-\nu_{yz}\nu_{yz}}{E_y E_z \Delta} & \frac{\nu_{yx}+\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_y E_z \Delta} & \frac{\nu_{zx}+\nu_{zy}\nu_{yx}}{E_y E_z \Delta} & & & \\
 \frac{\nu_{xy}+\nu_{xz}\nu_{zy}}{E_x E_z \Delta} & \frac{1-\nu_{zx}\nu_{xz}}{E_x E_z \Delta} & \frac{\nu_{zy}+\nu_{zx}\nu_{xy}}{E_x E_z \Delta} & & & \\
 \frac{\nu_{xz}+\nu_{xy}\nu_{yz}}{E_x E_y \Delta} & \frac{\nu_{yz}+\nu_{yx}\nu_{xz}}{E_x E_y \Delta} & \frac{1-\nu_{xy}\nu_{yx}}{E_x E_y \Delta} \\
 & & & 2G_{xy} & 0 & 0 \\
 & & & 0 & 2G_{xz} & 0 \\
 & & & 0 & 0 & 2G_{yz} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{xx}\\
 \varepsilon_{yy}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}

On:

\Delta := \frac{1-\nu_{xy}\nu_{yx}-\nu_{xz}\nu_{zx}-\nu_{yz}\nu_{zy}-2\nu_{xy}\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_x E_y E_z}

De fet la matriu anterior, que representa el tensor de rigidesa , és simètrica ja que de les relacions (*) es la simetria de l'anterior matriu ja que:

\frac{\nu_{yx}+\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_y E_z \Delta} = \frac{\nu_{xy}+\nu_{xz}\nu_{zy}}{E_x E_z \Delta} \qquad
\frac{\nu_{zx}+\nu_{zy}\nu_{yx}}{E_y E_z \Delta} = \frac{\nu_{xz}+\nu_{xy}\nu_{yz}}{E_x E_y \Delta} \qquad
\frac{\nu_{zy}+\nu_{zx}\nu_{xy}}{E_x E_z \Delta} = \frac{\nu_{yz}+\nu_{yx}\nu_{xz}}{E_x E_y \Delta}

Un cas particular de materials ortótropos són els materials transversalment isòtrops lineals en els quals només cal especificar cinc constants elàstiques: \scriptstyle E_t, E_L, G_t, \nu_t, \nu_{Lt}, ont es refereix a les adreces transversals a la direcció que es diu longitudinal.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «llei de Hooke». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. Molera i Solà, Pere; Cruells i Cadevall; Montserrat et alii. Ciència dels materials. Volum 1 de Ciència dels materials. Barcelona: Edicions Universitat Barcelona, 2007, p. 163-168. ISBN 9788447531783.