Llista de fórmules amb π

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

A continuació es mostra una llista de fórmules que tenen a veure amb la constant matemàtica π.

Geometria clàssica[modifica]

on L és la longitud d'una circumferència de diàmetre d.

on A és l'àrea d'un cercle de radi r.

on V és el volum d'una esfera de radi r.

on S és la superfície exterior d'una esfera de radi r.

Física[modifica]






  • Període d'un pèndol simple d'amplitud petita:


Identitats[modifica]

Integrals[modifica]





(forma integral de l'arctangent al llarg de tot el seu domini).


(veure Integral de Gauß).


(Vegeu també fórmula de la integral de Cauchy)




Sèries infinites eficients[modifica]



(veure Srinivasa Ramanujan)


[1]


Les següents identitats són útils per calcular dígits binaris arbitraris de π:



Altres sèries infinites[modifica]

  (vegeu també el problema de Basilea i la funció zeta de Riemann)



, on B2n és un nombre de Bernoulli.


[2]


  (sèrie de Leibniz)







  (Euler, 1748)
Després dels dos primers termes, els signes vénen determinats de la següent manera: si el denominador és un nombre primer de la forma 4m - 1, el signe és positiu; si el denominador és un nombre primer de la forma 4m + 1, es signe és negatiu; per nombres compostos,el signe és igual al producte dels signes dels factors.[3]

Fórmules de Machin[modifica]

(la fórmula original de Machin)



(d'Euler)


(de Hermann)


(de Hutton o de Vega[4])





on és l'enèssim nombre de Fibonacci.

Algunes sèries infinites[modifica]

Algunes sèries infinites relacionades amb pi són:[5]

on

és el símbol de Pochhammer del factorial decreixent.

Productes infinits[modifica]

(Euler)
on els numeradors són els nombres primers senars; i cada denominador és el múltiple de 4 més proper al numerador.


Fórmula de Vieète:

Fraccions contínues[modifica]



(vegeu també fracció contínua)

Miscel·lani[modifica]

(aproximació de Stirling)


(Identitat d'Euler)


(veure Funció φ d'Euler)


(veure Funció φ d'Euler)


(veure trambé funció Gamma)


(on agm és la Mitjana aritmètico-geomètrica)


(on mod és la funció mòdul, que dóna el residu de la divisió de n entre k)


(sumatori de Riemann per avaluar l'àrea d'un cercle unitat)


(a través de l'aproximació de Stirling)

Referències[modifica]

  1. Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series
  2. Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld
  3. Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21., p. 488-489
  4. Carl Størmer «Solution complète en nombres entiers de l'équation » (en francès). Bulletin de la S.M.F., 27, 1899, pàg. 160–170.
  5. Simon Plouffe / David Bailey. «The world of Pi». Pi314.net. [Consulta: 29 gener 2011].
    «Collection of series for Plantilla:Pi». Numbers.computation.free.fr. [Consulta: 29 gener 2011].