Llista de sèries newtonianes

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, una sèrie newtoniana, anomenada així en honor de Isaac Newton, és una suma en una successió escrit en la forma

on

és el coeficient binomial i és el factorial ascendent. Les sèries newtonianes sovint apareixen en relacions de la forma vista en el càlcul llindar.

Llista de sèries newtonianes[modifica]

El teorema del binomi generalitzat dóna

Una prova d'aquesta identitat es pot obtenir mostrant que compleix l'equació diferencial

La funció digamma:

Els nombres de Stirling de segona espècie són donats per la suma finita

Aquesta fórmula és un cas especial de la k-èsima diferència progressiva del monomi xn avaluat a x = 0:

Una identitat relacionada forma la base de la integral de Nørlund-Rice:

on és la funció gamma, i és la funció beta.

Les funcions trigonomètriques tenen identitats llindars:

i

La naturalesa de l'umbral d'aquestes identitats és una mica més clara escrivint-les en termes de factorial descendent Els primers termes de la sèrie sinus són

que es pot reconèixer com semblant a la sèrie de Taylor per a sin x, amb (s)n en lloc de xn.

En la teoria analítica de nombres és interessant la suma

on B són els nombres de Bernoulli. Utilitzant la funció generatriu es pot avaluar la seva suma de Borel com

La relació general dóna la sèrie de Newton

on és la funció zeta d'Hurwitz i el polinomi de Bernoulli. La sèrie no convergeix, la identitat es manté formalment.

Una altra identitat és

que convergeix en . Això es desprèn de la forma general d'una sèrie de Newton per a nodes equidistants (quan existeix, és a dir, quan sigui convergent).

Referències[modifica]

  • Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert «Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals» (en anglès). Theoretical Computer Science, 144, 1995, pàg. 101–124.