Logaritme integral

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

En matemàtiques, la funció logaritme integral o logaritme integral, , és una funció especial de rellevància significativa en problemes de física i teoria de nombres, car dóna una estimació de la quantitat de nombres primers menors que un determinat valor (teorema dels nombres primers).

Representació integral[modifica | modifica el codi]

Gràfic de la funció del logaritme integral

El logaritme integral té una representació integral definida per a tots els nombres reals positius per la integral definida :

Aquí, denota el logaritme natural. La funció té una singularitat en l'instant , i la integral per ha de ser interpretada com un valor principal de Cauchy

Integral logarítmica desplaçada[modifica | modifica el codi]

La integral logarítmica desplaçada o integral logarítmica euleriana és definida com

o, representat com una integral

Com a tal, aquesta representació integral té l'avantatge que evita la singularitat en el domini d'integració.

Aquesta funció té la propietat de ser una bona aproximació del nombre de primers menors que un nombre donat , i per tant, és la base del teorema dels nombres primers.

Representació en forma de sèrie[modifica | modifica el codi]

La funció està relacionada amb l'exponencial integral mitjançant l'equació

que és vàlida per a . Aquesta identitat proporciona una representació en forma de sèrie de com:

on γ ≈ 0.57721 56649 01532... és la constant d'Euler-Mascheroni. Una sèrie més ràpida en termes de convergència va ser donada per Ramanujan:[1]

Valors especials[modifica | modifica el codi]

La constant de Ramanujan-Soldner en la funció del logaritme integral

La funció té un zero simple positiu que s'obté per al valor x ≈ 1,45136 92.348 ...; aquest nombre és més conegut com la constant de Ramanujan-Soldner.

li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151… és , on és la funció gamma incompleta. S'ha d'entendre com el valor principal de Cauchy de la funció.

Desenvolupament asimptòtic[modifica | modifica el codi]

El comportament asimptòtic de la funció quan x → ∞ és

on significa cota superior asimptòtica. L'expansió asimptòtica completa és

o

Això dóna el següent comportament asimptòtic més precís:


Cal notar, que com expansió asimptòtica, aquesta sèrie és no convergent. Aquesta és una aproximació raonable només si la sèrie es trunca per a un nombre finit de termes, i només quan es fan servir valors de prou grans. Aquesta expansió es dedueix directament de l'expansió asimptòtica de la integral exponencial.

Importància en la teoria de nombres[modifica | modifica el codi]

Vegeu també: Teoria de nombres

La integral logarítmica és important en la teoria de nombres, ja que és utilitzada per fer una estimació de la quantitat de nombres primers menors que un valor donat. Per exemple, el teorema dels nombres primers assegura que:

on indica la quantitat de nombres primers que hi ha per un valor menor o igual a .

A la pràctica, la fórmula es pot utilitzar per obtenir una bona aproximació de la quantitat de nombres primers de menys de o igual a . El valor de es manté per sobre de fins a un nombre extremadament gran, i molts matemàtics pensaven que sempre hauria de seguir superior. Però en 1914, Littlewood va demostrar que la diferència continuava sent positiva fins a un nombre extremadament gran, i que llavors canviava de signe un nombre infinit de vegades, per als quals hi ha un nombre infinit de valors de per als quals és major de .

En 1933, el matemàtic sud-africà Stanley Skewes va demostrar un límit superior per al més petit d'aquests valors. Suposant que la hipòtesi de Riemann sigui verdadera, va valuar aquest límit prop de . Posteriorment aquest límit, immensament gran, s'ha reduït significativament, i en l'actualitat és 1,39 × 10316.[2]

Referències[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]