Mètode de variació dels paràmetres

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la variació dels paràmetres és una tècnica usada per resoldre certes equacions diferencials ordinàries de segon ordre no homogènies. La variació de paràmetres no és una tècnica molt comuna en el camp de les matemàtiques pures, però és una eina útil en enginyeria.

Tècnica[modifica | modifica el codi]

Donada una equació diferencial de la forma

es defineix l'operador lineal

on D representa l'operador diferencial. S'ha de resoldre, doncs, l'equació per , on i són conegudes.

Suposant que es tenen dues solucions linealment independents per l'equació diferencial donada, u1 i u2. Sigui W el Wronskià d'aquestes dues funcions, i W sigui diferent de zero (les solucions són linealment independents).

Es busca la solució general a l'equació diferencial que serà de la forma

Aquí, i són desconegudes, i i són les solucions de l'equació homogènia. Es pot observar que si i són constants, llavors . És desitjable que A=A(x) i B=B(x) siguin de la forma

Ara,

i com que es requereix la condició de sobre, llavors es té que

Derivant un altre cop (i ometent passos intermedis)

Ara es pot escriure l'acció de L sobre uG com a

Com que u1 i u2 són solucions, llavors

Es té el sistema d'equacions

Desenvolupant,

Per tant, el sistema de sobre determina les condicions

Es troben A(x) i B(x) d'aquestes condicions, per tant, donades

es pot resoldre per (A′(x), B′(x))T, i per tant

Finalment,

Mentre les equacions homogènies són relativament fàcils de resoldre, aquest mètode permet el càlcul dels coeficients de la solució general de l'equació particular, i per tant es pot determinar la solució general completa.

Cal tenir en compte que i es determinen per només una constant arbitràries addicional (la constant d'integració); es podrien esperar dues constants d'integració perquè l'equació original era de segon ordre. Afegir una constant a o a no canvia el valor de perquè és lineal.

Exemple d'ús[modifica | modifica el codi]

Donada l'equació diferencial

Es vol trobar la solució general de l'equació, això és, trobar solucions a l'equació diferencial homogènia

Traiem l'equació característica

Com que hi ha una arrel repetida, s'ha d'introduir un factor de x a una solució per assegurar que siguin linealment independents.

S'obtenen, doncs, u1=e-2x, i u2=xe-2x. El Wronskià d'aquestes dues funcions és

Es busquen les funcions A(x) i B(x) tal que A(x)u1+B(x)u2 sigui una solució general de l'equació particular. Només queda calcular les integrals

això és,

on i són constants d'integració.