Matriu de Jordan

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En teoria matemàtica de matrius, un bloc de Jordan sobre un anell (les identitats del qual són el zero 0 i l'u 1)[nb 1] és una matriu amb entrades 0 arreu excepte a la diagonal, que conté un element fixat , i a la superdiagonal, que conté el valor 1. Aquest concepte pren el nom de Camille Jordan.

Cada bloc de Jordan està, doncs, determinat per la seva dimensió n i el seu valor propi , i es simbolitza per .

Tota matriu diagonal per blocs formada per blocs de Jordan s'anomena matriu de Jordan; usant o bé la suma directa o el símbol "", es denota per o bé la matriu diagonal per blocs quadrada de dimensió que té per primer bloc , per segon bloc i per tercer bloc .

Per exemple, la matriu

és una matriu de Jordan amb un bloc de valor propi , dos blocs amb valor propi la unitat imaginària i un bloc amb valor propi 7. La seva estructura en blocs de Jordan també pot ser escrita com o com .

Àlgebra lineal[modifica]

Tota matriu quadrada de dimensió amb elements d'un cos algebraicament tancat és semblant a una matriu de Jordan , que també pertany a (l'anell de matrius quadrades amb elements de ), i que a més és única llevat de permutacions dels seus blocs diagonals. Hom diu que és la forma canònica de Jordan d' i correspon a una generalització del procés de diagonalització. Una matriu diagonalitzable A es pot considerar un cas particular de la forma canònica de Jordan, en què tots els seus blocs són de dimensió .

Més generalment, donada una matriu de Jordan (és a dir, on el bloc diagonal k-sim, , és el bloc de Jordan , i on els elements diagonals no tenen per què ser tots diferents), la multiplicitat geomètrica de per la matriu , simbolitzada per , correspon al nombre de blocs de Jordan que tenen valor propi . Per altra banda, l'índex d'un valor propi de , simbolitzat per , es defineix com la dimensió del bloc de Jordan més gran associat a aquest valor propi.

El mateix concepte aplica per tota matriu semblant a , de tal manera que es pot definir considerant la forma canònica de Jordan d' per qualsevol dels seus valors propis . En aquest cas, es pot comprovar que l'índex de en és igual a la multiplicitat de com a arrel del polinomi mínim d' (on, per definició, la seva multiplicitat algebraica en , , és la seva multiplicitat com a arrel del polinomi característic d', és a dir, ). Una condició necessària i suficient perquè sigui diagonalitzable dins és que tots els seus valors propis tinguin índex igual a , és a dir, que el seu polinomi mínim tingui només arrels simples.

Des del punt de vista d'espais vectorials, la descomposició de Jordan-Chevalley és equivalent a trobar una descomposició ortogonal (és a dir, mitjançant suma directa d'espais propis representats per blocs de Jordan) del domini format per la base dels vectors propis generalitzats associats.

Equacions diferencials ordinàries lineals[modifica]

L'exemple més senzill d'un sistema dinàmic és un sistema d'equacions diferencials ordinàries lineals amb coeficients constans. Per exemple, siguin i :

del qual hom pot calcular explícitament la seva solució, mitjançant l'exponencial d'una matriu:

Una altra manera, suposant que la solució està restringida a l'espai de Lebesgue de camps vectorials de dimensió , , és usar la seva transformada de Laplace . En aquest cas

La funció matricial s'anomena matriu resolvent de l'operador diferencial . És meromorfa respecte al paràmetre complex perquè els elements de la matriu són funcions racionals amb denominadors iguals a tots els . Els pols de singularitat són els valors propis d', l'ordre dels quals són el seu índex, és a dir, .

Notes[modifica]

  1. Per la majoria d'aplicacions, podeu prendre l'anell com el conjunt dels nombres reals o el dels nombres complexos, i el 0 i l'1 amb els seus significats habituals.

Vegeu també[modifica]