En estadística i teoria de la probabilitat, la matriu de covariància és una matriu que conté la covariància entre els elements d'un vector. És la generalització natural a dimensions superiors del concepte de variància d'una variable aleatòria escalar.[1]
Si les entrades del vector-columna

són variables aleatòries, cadascuna amb variància finita, llavors la matriu de covariància Σ és la matriu l'entrada ( i , j ) és la covariància

on

és el valor esperat de l'entrada i -èsima del vector X . En altres paraules, tenim
![{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{n}-\mu _{n})]\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4beea93452c5b3887191b930c55a68dcc822dae5)
Com una generalització de la variància
[modifica]
L'anterior definició és equivalent a la igualtat matricial
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {I} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {I} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {I} [{\textbf {X}}]\right)^{\top }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f41cc88b17acbd9e948bb1429710a4457423144)
Per tant, s'entén que això generalitza a majors dimensions el concepte de variància d'una variable aleatòria escalar X , definida com
![{\displaystyle \Sigma ^{2}=\mathrm {var} (X)=\mathrm {I} [(X-\mu )^{2}],\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bfebf3c3a54ecc36241de44de62accc92daca30)
on

Per
i
, les següents propietats fonamentals es demostren correctes:

és semidefinida positiva



- Si els vectors
i
són d'igual dimensió, llavors 

- Si
i
són independents, llavors 
on
i
són vectors aleatoris de dimensió
,
és un vector aleatori
,
és
,
i
són matrius de
.
La matriu de covariància (encara que molt simple) és una eina molt útil en diversos camps. A partir d'ella es pot derivar una transformació lineal que pot de-correlacionar les dades o, des d'un altre punt de vista, trobar una base òptima per representar les dades de forma òptima (vegeu quocient de Rayleigh per la prova formal i altres propietats de les matrius de covariància).
Això es diu anàlisi del component principal (PCA per les seves sigles en anglès) en estadística, i transformada de Karhunen-Loev a processament de la imatge.