Matriu de covariància

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En estadística i teoria de la probabilitat, la matriu de covariància és una matriu que conté la covariància entre els elements d'un vector. És la generalització natural a dimensions superiors del concepte de variància d'una variable aleatòria escalar.[1]

Definició[modifica | modifica el codi]

Si les entrades del vector-columna

són variables aleatòries, cadascuna amb variància finita, llavors la matriu de covariància Σ és la matriu l'entrada ( i , j ) és la covariància

on

és el valor esperat de l'entrada i -èsima del vector X . En altres paraules, tenim

Com una generalització de la variància[modifica | modifica el codi]

L'anterior definició és equivalent a la igualtat matricial

Per tant, s'entén que això generalitza a majors dimensions el concepte de variància d'una variable aleatòria escalar X , definida com

on


Propietats[modifica | modifica el codi]

Per i , les següents propietats fonamentals es demostren correctes:



  1. és semidefinida positiva







  2. Si els vectors i són d'igual dimensió, llavors



  3. Si i són independents, llavors

on i són vectors aleatoris de dimensió , és un vector aleatori , és , i són matrius de .

La matriu de covariància (encara que molt simple) és una eina molt útil en diversos camps. A partir d'ella es pot derivar una transformació lineal que pot de-correlacionar les dades o, des d'un altre punt de vista, trobar una base òptima per representar les dades de forma òptima (vegeu quocient de Rayleigh per la prova formal i altres propietats de les matrius de covariància). Això es diu anàlisi del component principal (PCA per les seves sigles en anglès) en estadística, i transformada de Karhunen-Loev a processament de la imatge.


Lectures avançades[modifica | modifica el codi]


Nota[modifica | modifica el codi]

  1. Ganapathy Vidyamurthy. Pairs trading: quantitative methods and analysis. John Wiley and Sons, 16 August 2004, p. 42–. ISBN 9780471460671 [Consulta: 18 juny 2011].