Matriu quadrada

Una matriu $A$ d'$n$ per $m$ elements, és una matriu quadrada si el número de files és igual al número de columnes, és a dir, $n=m$ i es diu, llavors, que la matriu és d'ordre $n$:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}$

Las matrius quadrades són les més utilitzades en àlgebra.

Propietats

Tota matriu quadrada es pot descompondre en la suma d'una matriu simètrica i una matriu antisimètrica.

Si A i B són matrius del mateix ordre, llavors es poden sumar entre si. Els productes de matrius no son vàlids en ambdós sentits, de manera que generalment AB és diferent de BA. A més, sorgeixen els conceptes de determinant i traça només aplicables a matrius quadrades.

Una matriu quadrada A d'ordre n és singular si el seu determinant és nul. En tal cas, es diu que la matriu no té inversa.

Classes de matrius quadrades

Matriu triangular superior

Una matriu quadrada és triangular superior si té nuls tots els elements que estan per sota de la diagonal principal, dela forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1m}\\0&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2m}\\0&0&a_{33}&\cdots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

Exemple:

$A={\begin{pmatrix}3&6&12&-3\\0&-2&4&9\\0&0&1&0\\0&0&0&8\\\end{pmatrix}}$

Matriu triangular inferior

Una matriu quadrada és triangular inferior si té nuls tots els elements que estan per sobre dela diagonal principal, de la forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&0&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&0&\cdots &0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

Exemple:

$A={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&-2&0\\6&2&1\\\end{pmatrix}}$

Matriu diagonal

Una matriu quadrada és diagonal si té nuls tots els elements excepte els de la diagonal principal, de la forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&0&0&\cdots &0\\0&a_{22}&0&\cdots &0\\0&0&a_{33}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}$

Exemple:

$A={\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&8\\\end{pmatrix}}$

Per definició, tota matriu diagonal és triangular superior i triangular inferior.

Matriu unitat

Una matriu quadrada és una matriu unitària o matriu unitat si tots els elements en la seva diagonal principal són la unitat i la resta d'elements són 0. Es tracta d'un cas particular de matriu diagonal, i es representa per I.

$I={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{pmatrix}}$

Exemple:

$I={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$