Energia vs k, model d'electrons lliures. Relació de dispersió per a un electró lliure, aproximació de xarxa buida.la forma de la densitat electrònica dels estats;
El model d'electrons lliures va resoldre moltes de les inconsistències relacionades amb el model de Drude i va donar una visió de diverses altres propietats dels metalls. El model d'electrons lliures considera que els metalls estan compostos per un gas d'electrons quàntics on els ions gairebé no tenen cap paper. El model pot ser molt predictiu quan s'aplica a metallsalcalins i nobles.[4]
En el model d'electrons lliures es tenen en compte quatre supòsits principals:
Aproximació d'electrons lliures: la interacció entre els ions i els electrons de valència es descuida majoritàriament, excepte en condicions de contorn. Els ions només mantenen la neutralitat de càrrega al metall. A diferència del model Drude, els ions no són necessàriament la font de col·lisions.
Aproximació del temps de relaxació: hi ha algun mecanisme de dispersió desconegut de manera que la probabilitat de col·lisió d'electrons és inversament proporcional al temps de relaxació. , que representa el temps mitjà entre col·lisions. Les col·lisions no depenen de la configuració electrònica.
El nom del model prové dels dos primers supòsits, ja que cada electró es pot tractar com a partícula lliure amb una relació quadràtica respectiva entre energia i moment.
La xarxa cristal·lina no es té en compte explícitament en el model d'electrons lliures, però una justificació mecànica quàntica es va donar un any més tard (1928) pel teorema de Bloch: un electró no lligat es mou en un potencial periòdic com un electró lliure en el buit, excepte que la massa d'electronsme es converteix en una massa efectivam* que pot desviar-se fins i tot de la massa efectiva dels forats). Les masses efectives es poden derivar de càlculs d'estructura de bandes que no es van tenir en compte originalment en el model d'electrons lliures.[5]
Moltes propietats físiques segueixen directament del model de Drude, ja que algunes equacions no depenen de la distribució estadística de les partícules. Prenent la distribució de velocitat clàssica d'un gas ideal o la distribució de velocitat d'un gas de Fermi només canvia els resultats relacionats amb la velocitat dels electrons.
Principalment, el model d'electrons lliures i el model de Drude prediuen la mateixa conductivitat elèctrica de CC σ per a la llei d'Ohm, és a dir
En tres dimensions, la densitat d'estats d'un gas de fermions és proporcional a l'arrel quadrada de l'energia cinètica de les partícules.
Moltes propietats del model d'electrons lliures segueixen directament d'equacions relacionades amb el gas de Fermi, ja que l'aproximació d'electrons independent condueix a un conjunt d'electrons que no interaccionen. Per a un gas d'electrons tridimensional podem definir l' energia de Fermi com
on és la constant de Planck reduïda. L'energia de Fermi defineix l'energia de l'electró d'energia més alta a temperatura zero. Per als metalls, l'energia de Fermi és de l'ordre d'unitats d'electronvolts per sobre de l'energia mínima de la banda d'electrons lliures.[6]
La densitat 3D d'estats (nombre d'estats d'energia, per energia per volum) d'un gas d'electrons que no interacciona ve donada per:
on és l'energia d'un electró donat. Aquesta fórmula té en compte la degeneració de spin però no considera un possible desplaçament d'energia a causa de la part inferior de la banda de conducció. Per a 2D la densitat d'estats és constant i per a 1D és inversament proporcional a l'arrel quadrada de l'energia de l'electró.[7]
on és la temperatura i definim com la temperatura de Fermi ( és constant de Boltzmann). L'enfocament pertorbatiu es justifica ja que la temperatura de Fermi sol ser d'uns 10 5 K per a un metall, per tant a temperatura ambient o baixa l'energia de Fermi. i el potencial químic són pràcticament equivalents.
![{\displaystyle E_{\rm {F}}(T)=E_{\rm {F}}(T=0)\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{4}+\cdots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6812cb8accffd8b7ee4ec80aeebcda9340be0df3)
