Multiplicitat

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, la multiplicitat d'un membre d'un multiconjunt és el nombre de vegades que aquest pertany al multiconjunt. Per exemple, aquest terme s'utilitza per referir-se al nombre de vegades que un cert polinomi té arrel en un punt determinat. La raó més habitual per considerar nocions de multiplicitat és per comptar sense especificar excepcions (per exemple, especificar que les arrels dobles es compten dues vegades). D'aquí l'expressió comptat amb multiplicitat (a vegades implícita).

En àlgebra lineal, la multiplicitat algebraica d'un valor propi λ d'una matriu A és l'ordre de λ com a zero del polinomi característic de A; en altres paraules, si λ és una de les arrels del polinomi, la multiplicitat algebraica és igual al nombre de factors (t - λ) en el polinomi característic, un cop factoritzat. Una matriu n×nn valors propis, comptats d'acord amb la seva multiplicitat algebraica, ja que el polinomi característic té grau n. Un valor propi de multiplicitat algebraica 1 rep el nom de «valor propi simple».

Multiplicitat d'un factor primer[modifica]

En la factorització (descomposició en producte de factors primers o factorització en nombres primer)

60 = 2 × 2 × 3 × 5

la multiplicitat de 2 és 2; la de 3 és 1, i la de 5 és 1.

Multiplicitat de l'arrel d'un polinomi[modifica]

Sigui un camp i un polinomi d'una variable amb coeficients en . Un element ; s'anomena arrel de multiplicitat de si existeix un polinomi tal que  ≠  i  = . Si , aleshores rep el nom de arrel simple.

Per exemple el polinomi i com a arrels, i pot escriure's com . Això significa que és una arrel de multiplicitat , i és una arrel 'simple' (multiplicitat ).

Multiplicitat de zero d'una funció[modifica]

Sigui un interval d'R i una funció de a R o C i  ∈  sigui un zero de , per exemple, un punt tal que . El punt pren el nombre de zero de multiplicitat de si existeix un nombre real  ≠  tal que

De forma més general, sigui una funció d'un subconjunt obert d'un espai vectorial amb norma en un espai vectorial amb norma , i sigui  ∈  zero de , per exemple, un punt tal que  = . El punt ren el nom de zero de multiplicitat de si existeix un nombre real  ≠  tal que

El punt s'anomena zero de multiplicitat ∞ de si par cada , es compleix que

Exemple 1. Donat que

0 és un zero de multiplicitat 1 de la funció sinus.

Exemple 2. Donat que

0 és un zero de multiplicitat 2 de la funció .

Exemple 3. Consideris la funció de R en R tal que i que quan  ≠ . Aleshores, donat que

per tot  ∈ N

0 és un zero de multiplicitat ∞ per la funció .

En anàlisi complexa[modifica]

Sigui una arrel d'una funció holomorfa , i l'últim enter positiu tal que, la m-èsima derivada de avaluada en és diferent de zero. Aleshores la sèrie de potències de sobre comença amb el terme n-èsim, i aleshores té arrel de multiplicitat (o “ordre”) . Si , l' arrel rep el nom d' arrel simple (Krantz 1999, p. 70).

Bibliografia[modifica]

  • Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.

Vegeu també[modifica]