Nombre algebraic

En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\,$

on:

$n>0(a_{n}\neq 0)$, és el grau del polinomi.

$a_{i}\in \mathbb {Z}$, els coeficients del polinomi són nombres enters.

Exemples :

• tot nombre racional ${\frac {p}{q}}$ és algebraic, perquè és arrel del polinomi $qx-p$
• el nombre real ${\sqrt {2}}$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}-2$
• el nombre complex i és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}+1$
• en canvi se sap que π no és un nombre algebraic : el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que tingui π per arrel

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos $\mathbb {C}$ dels nombres complexos.

Classificació dels complexos

• Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
• Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre algebraic