Nombre algebraic

En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = 0\,$

on:

$n > 0 (a_n \ne 0)$, és el grau del polinomi.

$a_i \in \mathbb{Z}$, els coeficients del polinomi són nombres enters.

Exemples :

• tot nombre racional $\frac{p}{q}$ és algebraic, perquè és arrel del polinomi $q x - p$
• el nombre real $\sqrt{2}$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^2-2$
• el nombre complex i és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^2+1$
• en canvi se sap que π no és un nombre algebraic : el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que tingui π per arrel

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos $\C$ dels nombres complexos.

Classificació dels complexos

• Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
• Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).