Secció àuria

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Nombre auri)
Salta a la navegació Salta a la cerca
No s'ha de confondre amb nombre auri (astronomia).
Infotaula nombreSecció àuria
Tipusconstant matemàtica, nombre irracional, nombre algebraic i nombre construïble modifica
Propietats
Valor1,6180339887 modifica
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraica modifica
Segment dividit en dos segments a i b de forma àuria: el segment sencer és al segment a com el segment a és al segment b

La raó àuria,nombre auri, secció àuria o divina proporció és la proporció entre dos segments a i b (o per extensió, entre dues quantitats a i b) que compleixen la condició que la proporció entre la suma d'aquests dos segments[1] i el segment més gran és la mateixa que hi ha entre el segment més gran i el segment més petit. Dit amb unes altres paraules, la suma dels dos segments és al segment gran com el segment gran és al segment petit. Anomenant a el segment (o nombre) gran i b el petit, la fòrmula és:

El quocient d'aquestes dues quantitats és un nombre irracional conegut com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega Φ o també φ (fi), en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys sovint amb τ (tau):

Les formes definides amb la proporció àuria han estat molt sovint considerades estèticament agradables a la cultura occidental, de manera que la proporció divina s'ha fet servir sovint al llarg de la història a l'art i el disseny. També s'ha fet servir la inversa: Φ-1. De vegades, s'utilitza la fi minúscula (φ) per a Φ-1 i la majúscula per a l'anterior.

També trobem la proporció àuria a la natura. El fet que aparegui als llocs més insospitats, i que tingui unes curioses propietats matemàtiques, ha fet que rebés la qualificació de "proporció divina".

Orígens[modifica]

S'ha suposat que l'origen va ser a la civilització sumèria, basant-se en la relació entre aquesta proporció i els estels de cinc puntes trobats a les tauletes de fang del 3200 aC. Tanmateix, res no indica que aquesta civilització conegués la proporció àuria.

S'han trobat proporcions molt properes a l'àuria a les piràmides de Giza. Per tant, sembla que els primers que la van fer servir van ser els antics egipcis. Però no està clar si ho feien conscientment per les qualitats estètiques, o per uns altres motius, o per atzar. De fet, molta gent diu que els egipcis no la coneixien.

A l'antiga Grècia, es coneixien bé algunes de les seves propietats, descobertes pels pitagòrics, gràcies a la seva freqüent aparició a la geometria. Tanmateix, no sembla cert que en valoressin el seu vessant estètic. Malgrat tot, a molts monuments, com el Partenó, hom pot trobar-hi proporcions divines o molt properes. No s'ha provat que aquestes relacions fossin expressament cercades, perquè a l'època de la construcció del Partenó poca gent coneixia aquesta proporció. Tot i que molta gent diu que no pot ser per casualitat, cal anar molt amb compte amb els textos que parlen de la seva omnipresència, perquè la numerologia alguns cops s'ha inventat relacions (com ara les del llibre The Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It? de John Taylor (1859), sobre la gran piràmide).

A l'arquitectura romana, també s'hi poden trobar proporions àuries, però tampoc no s'ha provat que es fecin servir expressament.

Raons àuries en geometria[modifica]

Secció àuria d'un segment[modifica]

Secció àuria del segment AB: S divideix AB de forma àuria, AS és el segment auri d'AB

Donat un segment AB, es diu que el punt S constitueix secció àuria del segment AB (o el divideix de forma àuria) si la part més gran és mitjana proporcional (o geomètrica) entre el segment AB i la part petita. Si la part petita és SB, com a la figura, matemàticament això és:

Equivalentment, això passa quan el segment sencer és a la part gran com la part gran és a la petita, p. e.:

L'equivalència entre les definicions es veu, per exemple, multiplicant en creu la segona expressió.

També es veu l'equivalència entre aquestes definicions i la de capçalera: en efecte, si AS mesura a i SB té una mesura b (i llavors AB té una mesura a + b) i tot plegat se substitueix en la segona expressió, s'obté:

La secció àuria del segment en una part gran i una de petita té a més la propietat següent:

  • La part petita és segment auri de la part gran, si:
o bé
Demostració: si (per ser AS el segment auri de AB), restant a banda i banda s'obté que
Traient-ne factor comú, i tenint en compte que
.
Llavors, , Q.E.D.

Construcció de raons àuries amb regle i compàs[modifica]

  • Divisió àuria d'un segment donat. Una de les construccions més senzilles és la següent:
Divisió de forma àuria d'un segment AB donat
    1. Traceu BC, perpendicular a AB per B i de longitud la meitat de AB.
    2. Amb centre a C, transporteu la distància CB sobre la hipotenusa CA. S'obté així el punt D.
    3. Amb centre a A, transporteu la distància AD sobre el segment AB. La intersecció d'aquest arc amb el segment AB defineix el punt S buscat, que constitueix secció àuria d'AB.
  • Construcció del segment tal que el seu segment auri és el donat. Aquesta és una de les construccions més famoses amb la raó àuria:
Construcció del segment AB a partir del seu segment auri AS.
    1. Traceu SC, perpendicular a AS per S i de longitud igual a AS.
    2. Trobeu el punt mitjà M del segment AS (per exemple amb la mediatriu).
    3. Amb centre a M, traceu l'arc amb radi MC. La intersecció B d'aquest arc amb la recta suport d'AS defineix el segment cercat AB, el segment auri del qual és AS.

Triangle d'or[modifica]

Els triangles d'or són aquells triangles isòsceles els costats dels quals estan en raó àuria. N'hi ha de dos tipus: els que , que són acutangles i els que , que són obtusangles. Aquests últims sovint són també anomenats triangles d'argent, però no tenen res a veure amb el nombre d'argent (que no té res a veure amb φ, l'invers de Φ).

Triangles d'or

Els triangles d'or tenen dos angles de 72º i un de 36º; els triangles d'argent tenen dos angles de 36º i un de 108º. Aquests són els mateixos angles que apareixen també en el pentàgon regular i el pentacle, on no és sorprenent de retrobar els triangles d'or i la raó àuria.

Demostració: a la figura de l'esquerra, es pot veure com el triangle ABD és semblant al triangle BCA, ja que els dos són isòsceles i tenen un angle en comú. Així, els angles ABD i ACB són iguals. La raó de semblança és, per a construcció dels triangles 1/Φ. Llavors, el segment AD mesura 1/Φ.
Com que el nombre d'or verifica la igualtat
,
el segment DC mesura 1, de manera que el triangle BCD és isòsceles i els angles DCB i DBC són iguals. Per tant, com que DCB i ACB són iguals, ABD i DBC són iguals i DB marca la bisectriu de l'angle ABC. Atès que la suma dels angles d'un triangle val 180°, els valors dels angles és de 36° per als més aguts (la cinquena part d'un angle pla) i de 72º per als més oberts, (dues cinquenes parts de l'angle pla o una cinquena part d'un angle complet).

Rectangle d'or[modifica]

Rectangles d'or

Els rectangles d'or són aquells rectangles els costats dels quals guarden raó àuria.

La construcció d'un rectangle d'or amb compàs es pot fer fàcilment a partir d'un quadrat mitjançant la segona construcció de l'apartat corresponent. Punxant al centre d'un dels costats i obrint fins a un dels dos angles oposats, només cal baixar l'arc fins a la prolongació del costat on s'ha punxat. Una de les propietats dels rectangles d'or és que el rectangle resultant de l'eliminació del quadrat de costat b que el pot generar (vegeu la figura), també és d'or. Aquesta propietat és deguda al fet que la raó àuria compleix la propietat següent, ja vista en apartats anteriors:

.

El pentàgon i el pentalfa regulars[modifica]

Pentacle en pentàgon regular

El pentàgon regular i les seves diagonals, que formen una pentalfa (o pentacle) amaguen unes quantes propietats relacionades amb la raó àuria. Alguns creuen que aquest podria ser un dels motius pels quals aquest símbol va ser l'escollit per Pitàgores per a la germandat que creà i presidí: els pitagòrics.

Per tractar-se de pentàgons regulars, s'identifiquen deu angles de 108º, cinc en el pentàgon exterior i cinc més en el format en l'interior. A partir d'aquests deu angles se'n poden trobar cinc més també de 108º (per angles oposats pel vèrtex) i deu angles de 72º (per angles suplementaris. D'aquesta manera, s'identifiquen vint triangles d'or, cinc d’ells formant les puntes del pentacle. També s'hi identifiquen quinze triangles d'argent (de dues mides diferents, cinc petits i deu grans). Només hi ha, doncs, tres tipus d'angles: de 36º, 72º (el doble de 36º) i 108º (el triple).

Pentalfa il·lustrant les raons àuries que s'hi amaguen

Pel que fa a longitud de segments, s'observa que només n'hi ha de quatre longituds diferents, però totes en relació àuria amb alguna altra:

Demostració: per a demostrar cadascuna d'aquestes relacions, només cal trobar un triangle d'or o d'argent format per costats amb les longituds corresponents. Els triangles són efectivament d'or o d'argent perquè ho corroboren els seus angles i la relació n'és àuria per definició de triangle d'or o d'argent.

Espirals d'or[modifica]

Com pot construir, a partir d'una successió de rectangles d'or i quadrats (vegeu la figura), una espiral tot traçant quarts de circumferència dins cada quadrat i tangents a aquest. Aquesta espiral s'aproxima a l'espiral d'or, una espiral logarítmica de centre en la intersecció de les dues diagonals indicades en la figura, punt que s'anomena l'ull de Déu, i d'equació polar:


Espiral d'or aproximada mitjançant arcs de circumferència en una successió de quadrats rectangles d'or
Espiral d'or aproximada (verda) i vertadera (vermella) (el groc apareix allà on es trepitgen ambdues corbes)
Espiral d'or aproximada mitjançant arcs de circumferència dins d'una successió de triangles d'or

De la mateixa manera, es pot construir, a partir d'una successió de triangles d'or, una espiral aproximada a la vertadera d'or triangular, també espiral logarítmica, però ara d'equació polar:

Angle d'or[modifica]

Angle d'or Ψ

S'anomena angle d'or aquell angle obtingut mitjançant la partició d'un cercle (la circumferència del qual té una longitud c) en dos sectors circulars, el més gran amb un arc de longitud a i el menor, amb un arc de longitud b, de manera que:

i prenent com a bo l'angle petit (el de longitud d'arc b).

Com que es tracta d'una partició del cercle, també es té que , i per tant, (vegeu el paral·lelisme amb la secció àuria d'un segment).

  • L'angle d'or mesura , o bé en radians,
Demostració: de l'equació , operant s'arriba a l'equació , de la qual, resolent, s'obté:
D'aquí, s'obtenen els dos valors següents per a :
Com que tant a com b són positius, es té que o que . Substituint-ho en , i reordenant s'obté que:
, d'on s'obté la mesura angular de l'angle: o .

El nombre d'or[modifica]

Propietats[modifica]

Puix que Φ resulta de la solució d'una equació polinòmica, forma part del conjunt dels nombres algebraics. Pot ser demostrat també que Φ és un nombre irracional o incommensurable.

(vegeu les primeres 20.000 xifres decimals del nombre d'or)

Com que el seu conjugat és menor que la unitat, també és un nombre de Pisot.

Algunes expressions amb les potències de Φ:

Les potències de Φ també compleixen la propietat següent:

Demostració: de la propietat anterior pot obtenir-se de multiplicar la igualtat per .
Així, les potències naturals del nombre d'or compleixen la relació de recurrència de Fibonacci,
Gràcies a aquesta propietat, es poden també escriure expressions en què s'observa la successió de Fibonacci:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

Una altra propietat sorprenent relacionada amb la recurrència de Fibonacci és que el quocient entre termes consecutius d'una successió definida amb aquesta recurrència, entre aquestes, la successió de Fibonacci, tendeix al nombre d'or. En efecte, si és una successió tal que , llavors:

Demostració: plantejant el límit,
De , multiplicant per x, s'arriba a:
, una equació quadràtica ja coneguda amb arrels i . La primera arrel és la corresponent a la part creixent de la successió, Q.E.D. La segona, és la corresponent a una hipotètica successió endarrere (cercant el límit .

Com que , es pot representar Φ en forma de fracció contínua:

El fet que en aquesta fracció contínua només n'apareguin uns fa que el nombre Φ sigui l'irracional més irracional (que convergeix més lentament), cosa que fa que tingui aplicacions interessants en la natura (vegeu l'apartat "El nombre d'or en la natura").

Com que , Φ es pot representar també amb una iteració infinita d'arrels quadrades:

El nombre d'or presenta també propietats interessants si s'utilitza com a base d'un sistema de nombres (vegeu base d'or).

En trigonometria, el nombre d'or està molt relacionat amb els angles que apareixen en un pentacle: (36º, 72º i 108º) i amb les seves meitats: 18º i 54º:

La demostració és en l'article "Constants trigonomètriques exactes, angle de 36º".

El nombre d'or també apareix en expressions com:

La proporció àuria a les arts[modifica]

El 1509, Luca Pacioli publicà Divina Proportione, on tractava no només de les curiositats matemàtiques del nombre d'or, sinó també del seu ús a l'arquitectura. Això va propiciar la idea que molts artistes del Renaixement el feien servir. Un bon exemple d'aquests mites és a les pintures de Leonardo Da Vinci, on igual que al Partenó, hom pot trobar-hi relacions àuries, tot i que no hi ha proves de que ho fes expressament.

Ja el segle XX, l'arquitecte suís Le Corbusier va publicar Le Modulor, on parlava de la proporció àuria a l'arquitectura i sobretot a l'urbanisme.

S'ha fet servir a construccions més recents com escales o edificis, o per exemple a la mida dels carnets i targetes de crèdit, que s'acosten a rectangles d'or. Potser l'edifici més emblemàtic n'és la seu de l'ONU a Nova York, un gran prisma amb una de les seves cares amb forma de rectangle d'or.

També es fa servir a la música, tant per la durada de les notes (per exemple, pel compositor hongarès Béla Bartók i el francès Olivier Messiaen), com per l'organització de les parts d'una peça (per exemple, a alguna obra del compositor mexicà Silvestre Revueltas), o fins i tot a la relació entre les freqüències de noves notes fora de les escales cromàtiques (per exemple, en For Ann (rising), de James Tenney).

Hi ha gent que creu que té propietats estètiques particulars. Una altra gent diu que qualsevol proporció compresa entre 1,4 i 1,8 en té.[cal citació]

El nombre d'or en la natura[modifica]

Curiosament, el nombre d'or el podem trobar també a la natura, de vegades a llocs insospitats:

  • A cada rusc d'abelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles.
  • A la disposició dels pètals de les flors (anomenada llei de Ludwig).
  • A la relació entre els nervis del tall d'una fulla.
  • A la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent (les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el nombre d'or), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes a les altres (es creu que això és a causa del fet que el nombre d'or és el nombre irracional que triga més a convergir, i, per tant, l'efecte que crea aquest angle és precisament el d'evitar que mai les fulles se superposin completament).
  • A la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de gira-sol.
  • A l'espiral dels cargols "nautilus", que són espirals d'or, logarítmiques.
  • A les espirals d'una pinya.
  • A alguns quasicristalls com el de l'aliatge de zinc, magnesi, i holmi, que són un dodecaedre regular. No és el cas dels cristalls de pirita dodecaèdrics (piritoedres), on les cares són pentàgons amb quatre costats iguals i un de diferent, i la figura resultant té la simetria del tetraedre, anomenada Th (3*2), i no pas pentagonal.

Algunes d'aquestes aparicions poden arribar-se a explicar mitjançant les successions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. Unes altres, però, són aparicions més misterioses.

Referències[modifica]

  1. Diccionario de Arte II (en castellà). Barcelona: Biblioteca de Consulta Larousse. Spes Editorial SL (RBA), 2003, p.124-125. DL M-50.522-2002. ISBN 84-8332-391-5 [Consulta: 5 desembre 2014]. 

Bibliografia[modifica]

  • La proporción áurea, Mario Livio, Editorial Ariel (Barcelona, 2009).

Hrant Arakelyan. Mathématiques et l'histoire de la section d'or. Logos, 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus).

Enllaços externs[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Secció àuria