Nombre de Pisot

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un Nombre de Pisot-Vijayaraghavan, també anomenat simplement Nombre de Pisot o Nombre PV, és un enter algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats de Valor absolut estrictament inferior a 1.

Per exemple, el nombre enter quadràtic , en el que i són tots dos enters o la meitat d'un enter senar, admet un conjugat ; les condicions perquè sigui Nombre de Pisot són, doncs:

Aquestes condicions són satisfetes pel nombre auri , ja que:

La condició general va ser estudiada per G. H. Hardy en relació amb un problema d'aproximació diofàntina. Aquest treball va ser estudiat per Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955), un matemàtic indi de la regió de Madras que va anar a Oxford per a treballar amb Hardy a mitjans dels anys 20. Aquesta mateixa condició apareix també a certs problemes sobre les sèries de Fourier i va ser estudiat més tard per Charles Pisot. El nom, format per aquests dos autors, es fa servir actualment de forma generalitzada.

Els nombres de Pisot-Vijayaraghavan poden ser utilitzats per a generar nombres quasi enters: la n-èsima potència d'un nombre de Pisot tendeix a un enter quan tendeix a l'infinit. Per exemple,

Aquest efecte és més pronunciat en les nombres de Pisot-Vijayaraghavan engendrats a partir d'equacions de grau més alt.

Aquesta propietat prové del fet que per a cada , la suma de les n-èsimes potències d'un enter algebraic i dels seus conjugats és exactament un enter; quan és un nombre de Pisot, les n-èsimes potències dels (altres) conjuguats tendeixen vers quan tendeix vers l'infinit.

El nombre de Pisot-Vijayaraghavan més petit, conegut amb el nom de nombre plàstic ou nombre de plata, és l'única arrel real del polinomi (aproximadament 1,324717957 ...). Aquest nombre va ser identificat com el més petit per Raphaël Salem el 1944 i Carl Ludwig Siegel va demostrar que era el menor possible el mateix any. Siegel també va identificar el segon nombre de Pisot més petit com l’arrel positiva de (aproximadament 1,38027756 ...).


Llista de nombres de Pisot[modifica | modifica el codi]

Nombres de Pisot inferiors a 1,618 en ordre creixent.

Valor Arrel de...
1 1,3247179572447460260
2 1,3802775690976141157
3 1,4432687912703731076
4 1,4655712318767680267
5 1,5015948035390873664
6 1,5341577449142669154
7 1,5452156497327552432
8 1,5617520677202972947
9 1,5701473121960543629
10 1,5736789683935169887
11 1,5900053739013639252
12 1,5911843056671025063
13 1,6013473337876367242
14 1,6017558616969832557
15 1,6079827279282011499
16 1,6081283851873869594
17 1,6119303965641198198
18 1,6119834212464921559
19 1,6143068232571485146
20 1,6143264149391271041
21 1,6157492027552106107
22 1,6157565175408433755
23 1,6166296843945727036
24 1,6166324353879050082
25 1,6171692963550925635
26 1,6171703361720168476
27 1,6175009054313240144
28 1,6175012998129095573
29 1,6177050699575566445
30 1,6177052198884550971
31 1,6178309287889738637
32 1,6178309858778122988
33 1,6179085817671650120
34 1,6179086035278053858
35 1,6179565199535642392
36 1,6179565282539765702
37 1,6179861253852491516
38 1,6179861285528618287

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]