Nombre harmònic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
El nombre harmònic amb (línia vermella) amb el seu límit asimptòtic (línia blava).

En matemàtiques, l'n-èssim nombre harmònic és la suma dels recíprocs dels primers n nombres naturals:

Això és el mateix que n vegades l'invers de la mitjana harmònica d'aquests nombres naturals.

Els nombres harmònics s'han estudiat des de l'antiguitat i són importants en moltes branques de la teoria de nombres. A vegades s'anomenen vagament com sèrie harmònica. A més, estan estretament relacionats amb la funció zeta de Riemann i apareixen en l'expression d'algunes funcions especials.

Representació[modifica | modifica el codi]

La primera representació, en forma integral, la va donar Leonhard Euler:

Veiem que:

En resum

La qual cosa ja era evident per la definició en els nombres naturals.