Nombre parell

Un nombre parell és un nombre enter múltiple de 2, és a dir, un nombre enter, m, és nombre parell només si existeix un altre nombre enter, n, tal que:

$m=2n$

A la pràctica això vol dir que és parell tot nombre enter que acabi en els nombres 2, 4, 6, 8 i 0 (en base 10).

Identificació

Si la base de numeració emprada és un nombre parell (per exemple, base 10 o base 8), un nombre parell es podrà reconèixer si el seu últim dígit també és parell. Per exemple, el següent número en base 10:

${352107706}_{10}$

És parell ja que el seu últim dígit es el 6, que és parell. Passa el mateix amb el següent número en base 6:

${2145301354}_{6}={23211718}_{10}$

Si la base del sistema de numeració és senar (3, 5, etc), el número serà parell si el nombre de dígits amb xifra imparella és parell; i en cas contrari, número serà senar. Per exemple, en base 3:

${120}_{3}={15}_{10}$

És senar, ja que l'1 és l'única xifra senar, mentres que:

${321}_{5}={86}_{10}$

És parell, ja que el nombre de xifres senars són parells (3 i 1).

Paritat del cero

Article principal: paritat del zero

El zero és un nombre parell perquè compleix amb la definició (un nombre és parell existeix si és igual a un número enter multiplicat per 2), així com amb totes les propietats dels nombres parells:

1. $I_{1}+I_{2}=2a+1+2b+1=2a+2b+2=2(a+b+1)=2n$
2. $P_{1}\cdot P_{2}=2a\cdot 2b=2(2\cdot a\cdot b)=2(c)=2n$
3. $P_{1}\cdot I_{1}=2a\cdot (2b+1)=2a\cdot 2b+2a=2c+2a=2(c+a)=2n$
4. $I_{1}\cdot I_{2}=(2a+1)\cdot (2b+1)=2a\cdot 2b+2a+2b+1=2c+2a+2b+1=2(c+a+b)+1=2n+1$
5. La potències de base parell són parells i recíprocament, si una potència és parell la seva base també és parell
6. El residu de la divisió de dos nombres parells és parell.

Propietats respecte a la divisibilitat

• Dos números enters consecutius tenen una paritat diferent.
• En tres nombres enters consecutius, dos tindran la mateixa paritat, mentres que un serà de diferent paritat respect dels dos anteriors.

És a dir, donat $S_{n}=n$; si $n$ és senar, el següent número ($n'=n+1$) serà parell, i el següent ($n''=n+2$) serà un altre cop senar.

Tipus especials de números parells

• Els nombres perfectes són parells.
• Els factorials d'un nombre natural diferent de 0 i 1 i els nombres primorials són parells.
• Tota terna pitagòrica primitiva genera un número congruent parell.

Tipus especials de números senars

• Els números prims, excepte el 2, que és parell, són números naturals que només es poden dividir entre ells mateixos i l'1 perquè el residu sigui 0.
  • Els números prims de la forma $\ 4\cdot n+1$, sent n qualsevol nombre natural, es descomponen d'una única manera en la suma de l'arrel dels cuadrats de dos números enters. Això va ser estudiat per Fermat i permet que aquest nombre prim sigui la hipotenusa d'un triangle rectangle diofàntic o triangle rectangle diofantí. Aquests dos últims es refereixen a triangles rectangles amb tots els costats sent números enteros positius en honor a Diofant d'Alexandria, qui va estudiar els problemes on interessa aconseguir solucions enters.
  • Els números prims de la forma $\ 4\cdot n+3$ no poden expressar-se com la suma de dos cuadrats enters, però sí com una diferència entre dos cuadrats. L'arrel cuadrada del cuadrat major, o minuend de la diferència, és igual a $\ 2(n+1)$, on n és el mateix nombre natural que surt a l'expressió de la forma del número primo.

Definicions en desús

En el llibre 7 dels Elements d'Euclides (definicions del 8 fins al 10), contenen definits unes classes de números que, avui dia està en desús, han sigut citades de forma freqüent en llibres històrics de matemàtiques:

• Número paritàriament parell, pariter par o pròpiament parell «és el mesurat per un número parell segons un número parell». Per tant, seria el producte de dos nombres parells.
• Número paritàriament senar o pariter impar «és el mesurat per un número parell segons un número senar», és a dir, el producto d'un número parell por un número senar.
• Número imparitàriament senar, impariter impar o pròpiament senar «és el mesurat per un número senar segons un número senar», és a dir, el producte de dos números senars.

Observacions:

• En aquestes definicions, l'1 no compta com número senar, llavors, els números imparitàriament senars són exactament els números senarscompstos. Aquests són els números que s'utilitzen a la criba de Sundaram per trobar-ne prims: un número prim serà tot número senar (amb l'excepció del 2) que no estigui en la criba de Sundaram.
• Alguns números es consideren tant paritàriament parells com paritàriament senars. Per exemple: 24 és igual a 6 per 4, així que és paritàriament parell; però també és igual a 3 per 8, la qual cosa fa que sigui alhora paritàriament parell.

Algunes fonts, com Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica (1794) i el més recent Enjambre matemático, utilitzen altres definicions pels números paritàriament parells: no es tracta dels nombres que són productes de dos números parells, sinó dels que només es poden expressar com un producte de dos parells (exceptuant el producte de si mateixos per 1). Segons aquesta definició, els números paritàriament parells són exactament les potències de 2. Així mateix, defineixen el número paritàriament senar com el múltiple d'una potència de 2 per un número senar i introdueixen el concepte, definició que no apareix en la obra d'Euclides, de número imparitàriament parell com un número que és el doble d'un número senar. Mentres que la definició del número imparitàriament senar no té cap variació.

El llibre Llave aritmética y algebrayca utilitza les primeres definicions i explica que en cas que hi hagi números que són simultàniament paritàriament parells i paritàriament senars. Aquesta definició, a més a més, queda reforçada en la proposició 32 del llibre 9 dels Elements, que explica el següent: «Cada un dels números (que és contínuament) duplicat a partir d'una díada és només un (número) paritàriament parell».

Vegeu també

• Nombre senar