Nombre quàntic principal

Nivells d'energia possibles en eV amb el corresponent nombre quàntic principal $n$. Cal observar que a mesura que augmenta $n$, la diferència entre nivells consecutius disminueix.

En mecànica quàntica, el nombre quàntic principal (amb símbol $n$), és el nombre quàntic que caracteritza l'energia d'un estat estacionari d'un sistema quàntic i, més específicament, la dels nivells d'energia dels electrons d'un àtom per als quals pren els valors dels nombres naturals ($n=1,2,3\ldots$). A menor valor d'$n$ més negativa és l'energia del sistema i, per tant, més estable. També determina la grandària de la zona per on hi ha probabilitat de trobar l'electró al voltant del nucli atòmic. Fou introduït el 1913 pel físic teòric danès Niels Bohr.

A més del nombre quàntic principal, els altres nombres quàntics necessaris per a descriure l'estat d'un electró són el nombre quàntic azimutal $\ell$, el nombre quàntic magnètic $m_{\ell }$ i el nombre quàntic d'espín $m_{s}$. El dos primers, introduits pel físic alemany Arnold Sommerfeld (1868-1951) el 1915, depenen del principal $n$, ja que els valors que pot adoptar $\ell$ són: $0,1,2\ldots n-1$; i els que pot tenir $m_{\ell }$ depenen d'$\ell$ de la següent manera: $m_{\ell }=-\ell ,-\ell +1\ldots ,0,\ldots \ell -1,\ell$.

En les configuracions electròniques dels àtoms s'escriu el nombre quàntic principal $n$ al principi de cada orbital atòmic. Per exemple, l'àtom de sofre té 16 electrons amb la següent distribució: (1s)² (2s)² (2p)⁶ (3s)² (3p)⁴. Els valors 1, 2, 2, 3, 3 són nombres quàntics principals, mentres que 2, 2, 6, 2, 4 indiquen el nombre d'electrons a cada orbital atòmic.

El model atòmic de Bohr

Niels Bohr cap el 1910.

La introducció del nombre quàntic principal es realitzà per primer cop dins del model atòmic semiclàssic de Bohr per a l'àtom d'hidrogen. És un model que el físic teòric danès Niels Bohr (1885-1962) publicà en dos articles el 1913. En aquest model, l'electró de l'àtom d'hidrogen és atret pel nucli gràcies a la força de Coulomb entre les càrregues de l'electró i del protó. L'electró pot orbitar el nucli atòmic, on hi ha el protó, en unes òrbites estacionàries circulars on no es produeix pèrdua d'energia. Els electrons poden transitar a òrbites inferiors (més propera al nucli) per emissió d'energia en forma d'un fotó, o per absorció d'energia (llum, calor...) si es desplacen d'una òrbita inferior a una superior (més allunyada del nucli). Els radis d'aquestes òrbites permeses i les energies dels electrons en elles venen quantitzades per un nombre natural de l'1 a l'infinit, que és el nombre quàntic principal.

2n postulat

El nombre quàntic principal apareix en el segon postulat de Bohr: Els electrons no emeten energia, en contra de la teoria electromagnètica de Maxwell, si giren al voltant del nucli en aquelles òrbites per les quals el mòdul del moment angular de l'electró, $L=rmv$, és un múltiple sencer ($n=1,2,3...$) de la constant de Planck $h$ dividida per $2\pi$:

Model atòmic de Bohr per a l'àtom d'hidrogen. La separació entre òrbites va augmentant en augmentar el nombre quàntic principal $n$.

$$rmv=n{h \over 2\pi }$$

on: $r$ és el radi de l'òrbita, $m$ la massa de l'electró, $v$ la seva velocitat i $n$ el nombre quàntic principal (Bohr emprà el símbol $\tau$ en el seu treball).

Els radis de les òrbites que s'obtenen a partir d'aquest postulat depenen del quadrat del nombre quàntic principal. El radi per a $n=1$ és l'òrbita més interna, la més propera al nucli i la que ocupa normalment l'electró si no està excitat. A mesura que augmenta $n$ també ho fan els radis i la separació entre òrbites veïnes cada vegada és major. La separació augmenta en allunyar-se del nucli. La fórmula dels radis és:

$$r_{n}={\frac {h^{2}\varepsilon _{0}}{\pi me^{2}}}\cdot n^{2}$$

on $\varepsilon _{0}$ és la constant dielèctrica del buit, i $e$ la càrrega elèctrica elemental.

I els valors de les energies dels electrons en les òrbites permeses depenen de la inversa del quadrat del nombre quàntic principal. L'energia més baixa de l'electró és la corresponent a $n=1$, que és la que té l'electró en l'estat fonamental. Les energies de l'electró en les òrbites següents van augmentant fins que per a $n=\infty$ té un valor de 0 i l'electró ja deixa d'estar lligat al nucli. La diferència d'energia entre dues òrbites es va reduïnt a mesura que augmenta el nombre quàntic principal. L'expressió que dona les energies és:

L'espectre de l'hidrogen segons el model atòmic de Bohr es produeix per bots de l'electró des de nivells superiors a nivells inferiors. Segons quin sigui el nivell inferior es produeixen les diferents sèries espectrals (Lyman, Balmer...)

$$E_{n}=-{\frac {me^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$$

3r postulat

En el 3r postulat, Bohr explica que els espectres atòmics són deguts a l'emissió d'energia en forma de fotons quan l'electró de l'àtom d'hidrogen passa d'una òrbita superior (a la qual hi havia passat des de la fonamental per absorció d'energia) a una inferior. Cada bot implica l'emissió d'un fotó, la qual energia és igual a la diferència d'energies de les òrbites: ${\textstyle E=h\nu =E_{2}-E_{1}}$. I deduí que depèn dels nombres quàntics principals segons la següent equació:

Bots corresponents a la sèrie de Balmer.

$$E=h\nu ={\frac {2\pi ^{4}m_{e}e^{2}}{h^{2}}}\left[{\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right]$$

on $\nu$ és la freqüència del fotó, $n_{1}$ és el nombre quàntic principal de l'òrbita inferior i $n_{2}$ el de l'òrbita superior. La dependència de nombres enters al quadrat ja havia estat descoberta amb anterioritat pels espectroscopistes i el físic suec Johannes Rydberg (1854-1919) el 1888 aconseguí establir una fórmula per a totes les línies espectrals de l'àtom d'hidrogen (fórmula de Rydberg).

Per exemple, la sèrie de Balmer, corresponent a línies espectrals en la zona de la llum visible, és deguda a bots dels electrons des de nivells de nombre quàntic principal superior a 2 ($n_{2}>2$) fins al nivell $n_{1}=2$. Cada sèrie espectral té un valor determinat d'$n_{1}$ i els valors d'$n_{2}$ sempre són superiors: Serie de Lyman ($n_{1}=1$, $n_{2}>1$), sèrie de Balmer ($n_{1}=2$, $n_{2}>2$), sèrie de Brackett ($n_{1}=3$, $n_{2}>3$), etc.

El model atòmic de Schrödinger

Erwin Schrödinger (1887-1961).

Per descriure l'estat d'un electró dins d'un àtom, són necessaris quatre nombres quàntics. Aquests quatre nombres quàntics ($n$, $\ell$, $m_{\ell }$ i $m_{s}$) especifiquen de forma completa, unívoca i única l'estat quàntic d'un electró en un àtom i, per tant, la seva funció d'ona. El físic austríac Erwin Schrödinger (1887-1961) el 1926 obtingué una equació que havien de complir les ones de matèria, ara coneguda com equació de Schrödinger. Amb ella calculà les línies espectrals per a l'hidrogen tractant l'electró carregat negativament com una ona movent-se a un pou quàntic creat per un protó (carregat positivament). Aquest càlcul reproduïa els nivells d'energia del model atòmic de Bohr i els valors experimentals dels espectres. En resoldre l'equació de Schrödinger es pot descompondre en una part radial i una angular que condueixen als tres primers nombres quàntics. En conseqüència, aquests tres nombres quàntics estan molt interrelacionats entre ells.

En concret, el nombre quàntic principal sorgeix de la solució de la part radial $R$ de l'equació. Les funcions d'ona $\psi _{s}$ dels orbitals s dels quatre primers nivells energètics del model atòmic de Schrödinger són:

Funcions d'ona $\psi _{s}=R_{s}\cdot Y_{s}$

Orbital	Funció radial	Funció angular
$1s$	${\textstyle R_{1s}=2\cdot Z^{3/2}\cdot e^{-\rho /2}}$	${\textstyle Y_{s}=(1/4\pi )^{1/2}}$
$2s$	${\textstyle R_{2s}=(1/2{\sqrt {2}})\cdot (2-\rho )\cdot Z^{3/2}\cdot e^{-\rho /2}}$	${\textstyle Y_{s}=(1/4\pi )^{1/2}}$
$3s$	${\textstyle R_{3s}=(1/9{\sqrt {3}})\cdot (6-6\rho +\rho ^{2})\cdot Z^{3/2}\cdot e^{-\rho /2}}$	${\textstyle Y_{s}=(1/4\pi )^{1/2}}$
$4s$	${\textstyle R_{4s}=(1/96)\cdot (24-36\rho +12\rho ^{2}-\rho ^{3})\cdot Z^{3/2}\cdot e^{-\rho /2}}$	${\textstyle Y_{s}=(1/4\pi )^{1/2}}$

Representació de la part radial $R_{2s}$ de l'orbital 2s en funció del radi.

Representació de la part radial $R_{4s}$ de l'orbital 4s en funció del radi.

on:

• $Z$, càrrega nuclear efectiva, que és la càrrega nuclear menys l'apantallament dels electrons interns, expressat en unitats de la càrrega elèctrica elemental, per a l'hidrogen $Z$ = 1,
• $e=2,718\,28...$
• $\rho =2Zr/na_{0}$, on:
  • $r$, el radi,
  • $n$, és el nombre quàntic principal ($n=1,2,3...$), pren valors enters positius, igual que en el model de Bohr,
  • $a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}$ és el radi de Bohr que val 52,9 pm, i on
    • $\varepsilon _{0}$ és la permitivitat del buit que val 8,854 18... × 10⁻¹² F·m⁻¹,
    • $\hbar =h/2\pi$, essent $h$ la constant de Planck (1,626 070 15 × 10^–34 J·s),
    • $m_{e}$, és la massa de l'electró que val 9,109 382 91(40) × 10^–31 kg, i
    • $e$, és la càrrega elèctrica elemental corresponent a 1,602 176 565(35) × 10^–19 C.

De l'equació de Schrödinger s'obtenen els estats propis que depenen dels tres nombres quàntics $n$, $\ell$ i $m_{\ell }$ amb els seus corresponents nivells d'energia $E_{n}$, valors reals que depenen només d'$n$. Aquests nivells d'energia venen donats per l'expressió:

A mesura que s'incrementa $n$ (en aquesta figura per avall) també ho fa la zona per on es pot trobar l'electró, per exemple en els orbitals 1s, 2s, 3s i 4s.

$$E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}2\hbar ^{2}n^{2}}}={\frac {E_{1}}{n^{2}}}={\frac {-13.6{\text{ eV}}}{n^{2}}},\quad n=1,2,3,\ldots$$

on $\mu$ és la massa reduïda $\mu ={\tfrac {Mm_{e}}{M+m_{e}}}$, amb $M$ massa del nucli atòmic.

Aquesta fórmula no és correcta segons la mecànica quàntica donat que la magnitud del moment angular ve donada pel nombre quàntic azimutal. No obstant, els nivells d'energia són precisos y clàssicament corresponen a la suma de l'energia potencial del camp elèctric generat pel nucli atòmic i l'energia cinètica del electró.

Com en el model de Bohr, del nombre quàntic principal $n$ depèn la major part de l'energia total dels electrons en cada orbital atòmic. Una petita part d'aquesta energia depèn del nombre quàntic secundari o azimutal. També, el nombre quàntic principal determina la grandària de la zona de probabilitat de trobar l'electró al voltant del nucli. La forma d'aquesta zona depèn del nombre quàntic azimutal o secundari i l'orientació del nombre quàntic magnètic. En augmentar $n$ augmenta la zona on es pot trobar l'electró i el radi més probable també s'allunya del nucli. L'electró pot localitzar-se a distàncies més allunyades del nucli atòmic.

Hom anomena capa d'electrons el conjunt d'orbitals amb el mateix valor d'$n$. En la notació de la taula periòdica, les principals capes d'electrons són etiquetades amb les lletres: K ($n$ = 1), L ($n$ = 2), M ($n$ = 3), etc. segons el seu nombre quàntic principal.

Bibliografia

• Eisberg, Robert; Resnick, Robert. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles. 2nd. Wiley, 1985. ISBN 978-0-471-87373-0.