Norma (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, la norma és la funció que assigna, a cada vector d'un espai vectorial, una longitud. Més precisament, una norma assigna a cada vector diferent del vector zero un valor estrictament positiu. Per altra banda, una seminorma permet assignar longitud zero a vectors que no són nuls. Un exemple molt senzill és la norma euclidiana definida sobre l'usual espai euclidià. En general, quan es defineix una norma dins d'un espai vectorial es diu que s'ha definit un espai normat. Normalment, la norma del vector v, a vegades anomenada també el mòdul de v, s'indica amb la notació ∥v∥ (o ||v||).

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui E un espai vectorial sobre un subcòs K dels nombres complexos, com ara els nombres complexos mateixos, els reals o els nombres racionals; una norma sobre E és una aplicació p definida en E amb els reals positius com a conjunt d'arribada:

p\colon E\to\mathbb{R}^{\geqslant 0}
x\longmapsto p(x)

que compleix, per a tot escalar λ del cos K i per a qualssevol vectors u, v de l'espai E; les següents propietats:

  1. p(λv) = ∣λ∣⋅p(v). (homogeneïtat)
  2. p(u + v) ≤ p(u) + p(v). (Desigualtat triangular)
  3. 0 ≤ p(v) i p(v) = 0 si i només si v és el vector nul. (semidefinida positiva)

Si l'aplicació p compleix totes les propietats menys l'última d'elles es diu que és una seminorma sobre E. Normalment, les normes es representen per la notació ∥v∥ o fins i tot ∣v∣ en comptes de p(v).

Exemples[modifica | modifica el codi]

Norma euclidiana[modifica | modifica el codi]

A l'espai ℝn la noció intuïtiva de longitud d'un vector x = (x1, x2, ..., xn) és la representada per la fórmula:

\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.

Que dóna la distància ordinària entre l'origen i el punt x a conseqüència del teorema de Pitàgores.

A n la generalització d'aquesta norma és:

\|\mathbf{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}, equivalent a la norma euclidiana de ℝ2n.

Si l'espai vectorial és també un espai euclidià, podem definir una norma com la rel quadrada del producte escalar del vector amb ell mateix. Quan es vol diferenciar la norma euclidiana de les altres s'escriu ∥v2 seguint la notació de les p-normes. Així, també se l'anomena norma L2.

Norma del màxim[modifica | modifica el codi]

La norma del màxim, norma del suprem o norma infinit es defineix com el suprem de les components del vector en valor absolut:

\|\textbf{x}\|_\infty := \sup \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).

Seguint la notació de les p-normes, la norma infinit defineix l'espai L.

p-norma[modifica | modifica el codi]

Article principal: espai Lp

Sigui p ≥ 1 un nombre real, es defineix la p-norma o norma Lp:

\|\textbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}.

Convé observar que, per a p = 1 tenim la "norma del taxi", per a p = 2 tenim la norma euclidiana, i que prenent el límit amb p \to \infty tenim la norma del màxim. Aquestes normes defineixen els espais Lp.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Norma (matemàtiques) Modifica l'enllaç a Wikidata