Notació de Coxeter

De Viquipèdia

En geometria, la notació de Coxeter (o símbol de Coxeter) és un sistema de classificació de grups de simetria, que descriu els angles entre les reflexions fonamentals d'un grup de Coxeter en una notació entre claudàtors que expressa l'estructura d'un diagrama de Coxeter-Dynkin, amb modificadors per indicar determinats subgrups. La notació rep el nom de H. S. M. Coxeter, i ha estat definida de forma més comprensible per Norman Johnson.

Dominis fonamentals de grups de punts 3D reflexius
CDel node.png, [ ]=[1]
C1v
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png, [2]
C2v
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [3]
C3v
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, [4]
C4v
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, [5]
C5v
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, [6]
C6v
Spherical digonal hosohedron.png
Ordre 2
Spherical square hosohedron.png
Ordre 4
Spherical hexagonal hosohedron.png
Ordre 6
Spherical octagonal hosohedron.png
Ordre 8
Spherical decagonal hosohedron.png
Ordre 10
Spherical dodecagonal hosohedron.png
Ordre 12
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]=[2,1]
D1h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2,2]
D2h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[2,3]
D3h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[2,4]
D4h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[2,5]
D5h
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
[2,6]
D6h
Spherical digonal bipyramid.svg
Ordre 4
Spherical square bipyramid.svg
Ordre 8
Spherical hexagonal bipyramid.png
Ordre 12
Spherical octagonal bipyramid.png
Ordre 16
Spherical decagonal bipyramid.png
Ordre 20
Spherical dodecagonal bipyramid.png
Ordre 24
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [3,3], Td CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [4,3], Oh CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, [5,3], Ih
Spherical tetrakis hexahedron-3edge-color.png
Ordre 24
Spherical disdyakis dodecahedron-3and1-color.png
Ordre 48
Spherical compound of five octahedra.png
Ordre 120
La notació de coxeter expressa els grups de Coxeter com una llista d'ordres de branques d'un diagrama de Coxeter, com els grups polièdrics, CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = [p,q]. Els grups dièdrics, CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png, poden expressar-se un producte [ ]×[n] o en un sol símbol amb un explícit ordre 2 de branques, [2,n]

Grups reflexius[modifica]

Vegeu també: Grup puntual de simetria

Per als grups de Coxeter, definits per reflexions pures, hi ha una correspondència directa entre la notació entre claudàtors i el diagrama de Coxeter-Dynkin. Els nombres de l'anotació entre claudàtors representen els ordres de reflexió dels miralls a les branques del diagrama de Coxeter. Utilitza la mateixa simplificació, suprimint els «2» entre miralls ortogonals.

La notació de Coxeter es simplifica amb exponents per representar el nombre de branques d'una fila per a un diagrama lineal. Així, el grup An es representa amb [3n-1], a l'implicar n nodes connectats amb n-1 branques d'ordre 3. Per exemple, A2 = [3,3] = [3²] o [31,1] representa els diagrames CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png o CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png.

Inicialment, Coxeter representava esquemes bifurcadors amb posicionament vertical dels números, però després ho va abreujar amb una notació exponencial, com [...,3p,q] o [3p,q,r], començant per [31,1,1] o [3,31,1] = CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png o CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png com a D4. Coxeter va tractar als zeros com a casos especials per adaptar-se a la família An, com A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], per a CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png.

Els grups de Coxeter formats per esquemes cíclics estan representats entre parèntesis dins dels claudàtors, com [(p,q,r)] = CDel pqr.png per al grup triangular (p q r). Si els ordres de la branca són iguals, es poden agrupar com a exponent a la longitud del cicle entre claudàtors, com [(3,3,3,3)] = [3[4]], per a representar el diagrama de Coxeter CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png o CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png , que també es pot representar [3,(3,3,3)] o [3,3[3]].

També es poden expressar, amb molta cura, esquemes de bucles més complicats. El grup de Coxeter paracompacte CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png pot ser representat per la notació de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], amb parèntesis anidats / superposats, mostrant dos bucles [(3,3,3)] adjacents, i també es representa de manera més compacta com [3[ ]×[ ]], que representa la simetria ròmbica en el diagrama de Coxeter. El diagrama gràfic complet del paracompacte CDel tet.png o CDel branch.pngCDel splitcross.pngCDel branch.png, es representa com [3[3,3]] amb el superíndex [3,3] com la simetria del seu diagrama de coxeter del tetraedre regular.

El diagrama de Coxeter sol deixar les ramificacions d'ordre 2 no-tancades, però la notació entre claudàtors inclou un 2 explícit per connectar els subgrafs. Així, el diagrama de Coxeter CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = A2×A2 = 2A2 també es por representar com [3]×[3] = [3]² = [3,2,3]. De vegades es poden incloure dues branques explícites amb una etiqueta 2 o bé amb una línia amb un buit: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png o CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, com a presentació idèntica com [3,2,3].

Grups finits
Rang Símbol del
grup
Notació entre
claudàtors
Diagrama
Coxeter
2 A2 [3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 B2 [4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
2 H2 [5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
2 G2 [6] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
2 I2(p) [p] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
3 Ih, H3 [5,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 Td, A3 [3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 Oh, B3 [4,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 A4 [3,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 B4 [4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 D4 [31,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 F4 [3,4,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 H4 [5,3,3] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n An [3n-1] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png..CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n Bn [4,3n-2] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
n Dn [3n-3,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 E6 [32,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7 E7 [33,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8 E8 [34,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Grups afins
Símbol del
grup
Notació entre
claudàtors
Diagrama
Coxeter
[∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
[3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
[4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[6,3] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3[4]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
[4,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[3[5]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[4,3,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3,3,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[ 31,1,1,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[3,4,3,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3[n+1]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
o
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png...CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[4,3n-3,31,1] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3n-2,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[ 31,1,3n-4,31,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[32,2,2] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branchbranch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[33,3,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[35,2,1] CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Grups hiperbòlics
Símbol del
grup
Notació entre
claudàtors
Diagrama
Coxeter
[p,q]
amb 2(p+q)<pq
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
[(p,q,r)]
amb
CDel pqr.png
[4,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[3,5,3] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[5,31,1] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[(3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
[(3,3,3,5)] CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
[(3,4,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(3,4,3,5)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
[(3,5,3,5)] CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
[3,3,3,5] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[4,3,3,5] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,3,5] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
[5,3,31,1] CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[(3,3,3,3,4)] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

Per als grups afins i hiperbòlics, el subíndex és inferior al nombre de nodes en cada cas, ja que cadascun d'aquests grups es va obtenir afegint un node al diagrama d'un grup finit.

Subgrups[modifica]

La notació de Coxeter representa la simetria rotacional / translacional afegint un operador superíndex + fora dels claudàtors, [X]+ que redueix l'ordre del grup [X] a la meitat, per tant un subgrup d'índex 2. Aquest operador implica que s'hagi d'aplicar un nombre parell d'operadors, substituint les reflexions per rotacions (o traduccions). Quan s'aplica a un grup de Coxeter es denomina «subgrup directe» perquè el que queda només són isometries directes sense simetria reflexiva.

Els operadors + també es poden aplicar dins dels claudàtors, com [X,Y+] o [X,(Y,Z)+], i crea «subgrups semidirectes» que poden incloure generadors reflexius i no-reflexius. Els subgrups semidirectes només poden aplicar-se als subgrups del grup de Coxeter que tenen ordres parells de branques adjacents a ell. Els elements entre parèntesis dins d'un grup de Coxeter poden donar-se a un operador de superíndex +, tenint com a efecte dividir les branques ordenades adjacents a mig ordre, per tant sol aplicar-se només amb números parells. Per exemple, [4,3+] i [4,(3,3)+] (CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png).

Si s'aplica amb una branca senar contigua, no crea un subgrup d'índex 2, sinó que crea dominis fonamentals solapats, com [5,1+] = [5/2], que pot definir polígons doblement embolicats com un pentagrama, {5/2}, i [5,3+], que es relacionen amb el triangle de Schwarz [5/2,3], densitat 2.

Exemples en grups de rang 2
Grup Ordre Generadors Subgrup Ordre Generadors Notes
[p] CDel node n0.pngCDel p.pngCDel node n1.png 2p {0,1} [p]+ CDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png p {01} Subgrup directe
[2p+] = [2p]+ CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h2.png 2p {01} [2p+]+ = [2p]+2 = [p]+ CDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png p {0101}
[2p] CDel node n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node n1.png 4p {0,1} [1+,2p] = [p] CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png 2p {101,1} Subgrups semidirectes
[2p,1+] = [p] CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h0.png = CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h2.png = CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png {0,010}
[1+,2p,1+] = [2p]+2 = [p]+ CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h0.png = CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel 2.pngCDel node h2.png = CDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png p {0101} Quart de subgrup

Es poden veure grups sense elements + veïns en nodes anellats en el diagrama de Coxeter-Dynkin per a politops uniformes i grups del paper pintat relacionats amb «nodes forats» al voltant dels elements +, cercles buits amb els nodes alternats eliminats. Així doncs, el cub xato CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png té simetria [4,3]+ (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png), el tetraedre xato CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png té simetria [4,3+] (CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png), i un demicub h{4,3} = {3,3} (CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png o CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png) té simetria [1+,4,3] = [3,3] (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png o CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png).

Nota: La simetria piritèdrica CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png es pot escriure com CDel node.pngCDel 4.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png, separant el graf amb buits per a la claredat, amb els generadors {0,1,2} del grup de Coxeter CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png produint generadors piritèdrics {0,12}, un reflex i una rotació de 3-plecs. I la simetria tetraedral quiral es pot escriure com CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png o CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png, [1+,4,3+] = [3,3]+, amb generadors {12,0120}.

Subgrups reduïts a la meitat i grups ampliats[modifica]

Norman Johnson estén l'operador + per a que sigui un marcador de posició 1+ nodes, que elimina els miralls, doblant la mida del domini fonamental i retallant l'ordre del grup a la meitat.[1] En general, aquesta operació només s'aplica a miralls individuals delimitats per branques d'ordre parell. L'1 representa un mirall, de manera que [2p] es pot veure com [2p,1], [1,2p], o [1,2p,1], com un diagrama CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png o CDel node c1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node c3.png, amb 2 miralls relacionats per un angle diedre d'ordre 2p. L'efecte d'una eliminació del mirall és duplicar nodes de connexió, que es poden veure en els diagrames de Coxeter: CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node c3.png = CDel labelp.pngCDel branch c3.png, o en la notació entre claudàtors: [1+,2p, 1] = [1,p,1] = [p].

Exemple d'operacions de reducció a la meitat
Dihedral symmetry domains 4.png Dihedral symmetry 4 half1.png
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c3.png
[1,4,1] = [4]
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c3.png = CDel node c3.pngCDel 2x.pngCDel node c3.png = CDel node c3.pngCDel 2.pngCDel node c3.png
[1+,4,1]=[2]=[ ]×[ ]
Dihedral symmetry 4 half2.png Cyclic symmetry 4 half.png
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node c1.pngCDel 2x.pngCDel node c1.png = CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png
[1,4,1+]=[2]=[ ]×[ ]
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node h2.png = CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png
[1+,4,1+] = [2]+

Cadascun d'aquests miralls es pot eliminar de manera que h[2p] = [1+,2p,1] = [1,2p,1+] = [p] és un subgrup reflectant d'índex 2. Això es pot mostrar en un diagrama de Coxeter mitjançant afegint un símbol + a sobre del node: CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h0.png = CDel labelp.pngCDel branch.png.

Si s'eliminen els dos miralls, es genera un quart de subgrup, i l'ordre de la branca es converteix en un punt de gir de la meitat de l'ordre:

q[2p] = [1+,2p,1+] = [p]+, és un subgrup rotacional d'índex 4. CDel node h2.pngCDel 2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel 2.pngCDel node h2.png = CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h0.png = CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h2.png = CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h0.png = CDel labelp.pngCDel branch h2h2.png.

Per exemple, (amb p=2): [4,1+] = [1+,4] = [2] = [ ]×[ ], ordre 4. [1+,4,1+] = [2]+, ordre 2.

El contrari a la reducció a la mitat és la duplicació,[2] la qual afegeix un mirall, es bisecta un domini fonamental i es duplica l'ordre grupal.

[[p]] = [2p]

Les operacions de reducció a la meitat s'apliquen per a grups de rang superior (com la simetria tetraedral, que és un mig grup del grup octaedral: h[4,3] = [1+,4,3] = [3,3], eliminant la meitat dels miralls fins a les 4 branques). L'efecte d'una eliminació del mirall és duplicar tots els nodes de connexió, que es poden veure als diagrames de Coxeter: CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png = CDel labelp.pngCDel branch c1.pngCDel split2.pngCDel node c2.png, h[2p,3] = [1+,2p,3] = [(p,3,3)].

Simetria tetraedral Simetria octaedral
Sphere symmetry group td.png
Td, [3,3] = [1+,4,3]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png = CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c1.png = CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
(Ordre 24)
Sphere symmetry group oh.png
Oh, [4,3] = [[3,3]]
CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
(Ordre 48)

Si s'indexen nodes, es poden etiquetar mig subgrups amb nous miralls com a compostos. Igual que CDel node n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node n1.png, generadors {0,1} té el subgrup CDel node h0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node n1.png = CDel 2 n0.pngCDel node n1.pngCDel 3 n0.pngCDel p.pngCDel node n1.png, generadors {1,010}, on s'elimina el mirall 0 i es substitueix per una còpia del mirall 1 reflectit al mirall. També es dòna en CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png, generadors {0,1,2}, té el mig grup CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png = CDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel 3 n0.pngCDel node n1.pngCDel 2 n0.png, generadors {1,2,010}.

Doblant afegint un mirall també s'aplica en invertir l'operació a la meitat: [[3,3]] = [4,3], o de manera més general [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Subgrups radicals[modifica]

Norman Johnson també va afegir un operador asterisc o estrella * per a «subgrups radicals»,[3] que actua de manera similar a l'operador +, però elimina la simetria rotacional. L'índex del subgrup radical és l'ordre de l'element eliminat. Per exemple, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrup [3] eliminat és d'ordre 6 de manera que [2,2] és un subgrup d'índex 6 de [4,3].

Els subgrups radicals representen l'operació inversa a una operació de simetria estesa. Per exemple, [4,3*] ≅ [2,2], i a l'inversa [2,2] es poden ampliar com a [3[2,2]] ≅ [4,3]. Els subgrups també es poden expressar com a diagrama de Coxeter: CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.png o CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node x.pngCDel 3.pngCDel node x.pngCDel nodeab c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png. El node eliminat (mirall) fa que els miralls virtuals del mirall adjacent es converteixin en miralls reals.

Si [4,3] té generadors {0,1,2}, [4,3+], índex 2, té generadors {0,12}; [1+,4,3] ≅ [3,3], l'índex 2 té generadors {010,1,2}; mentre que el subgrup radical [4,3*] ≅ [2,2], índex 6, té generadors {01210, 2, (012)3}; i finalment [1+,4,3*], l'índex 12 té generadors {0(12)²0, (012)²01}.

Subgrups triònics[modifica]

Un subgrup trionic són subgrups d'índex 3. Hi ha molts que Johnson defineix com subgrup trionic amb l'operador ⅄, índex 3. Per als grups coxeter de rang 2, [3], el subgrup trionic, [3] és [ ], un únic mirall. I per a [3p], el subgrup trionic és [3p] ≅ [p]. Donat el node CDel node n0.pngCDel 3x.pngCDel p.pngCDel node n1.png, amb generadors {0,1}, té 3 subgrups trionics. Es poden diferenciar posant el símbol ⅄ després del generador de miralls per eliminar-lo, o bé en una branca per a tots dos: [3p,1] = CDel node n0.pngCDel 3x.pngCDel p.pngCDel node trionic.png = CDel node n0.pngCDel p.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n0.pngCDel node n1.pngCDel 2 n0.pngCDel 2 n1.png, CDel node trionic.pngCDel 3x.pngCDel p.pngCDel node n1.png = CDel 2 n0.pngCDel 2 n1.pngCDel node n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n0.pngCDel p.pngCDel node n1.png, i [3p] = CDel node n0.pngCDel 3x.pngCDel 3trionic.pngCDel p.pngCDel node n1.png = CDel 2 n0.pngCDel node n1.pngCDel 3 n0.pngCDel p.pngCDel 3 n1.pngCDel node n0.pngCDel 2 n1.png amb generadors {0,10101}, {01010,1}, o {101,010}.

Els subgrups trionics de simetria tetraèdrica: [3,3] ≅ [2+,4], relacionen la simetria del tetràedre regular i el disfenoide tetragonal.

Per als grups de Coxeter de rang 3, [p,3], hi ha un subgrup trionic [p,3] ≅ [p/2,p], o CDel node n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node n1.pngCDel 3trionic.pngCDel node n2.png = CDel 2 n2.pngCDel 2 n1.pngCDel node n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel p.pngCDel node n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node n1.png. Per exemple, el grup finit [4,3] ≅ [2,4], i el grup Euclidià [6,3] ≅ [3,6], i el grup hiperbòlic [8,3] ≅ [4,8].

Per a una branca adjacent senar, p, no és reduirà l'ordre de grup, sinó que es crearan dominis fonamentals superposats. L'ordre de grup es manté igual, mentre que la densitat augmenta. Per exemple, la simetria icosaèdrica, [5,3], del poliedre regular icosaedre es converteix en [5/2,5], la simetria de dos políedres d'estrelles regulars. També relaciona els mosaics hiperbòlics {p,3} i mosaics hiperbòlics estrella {p/2,p}.

Per a rang 4, [q,2p,3] = [2p,((p,q,q))], CDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3trionic.pngCDel node.png = CDel labelq.pngCDel branch.pngCDel split2-pq.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png.

Per exemple, [3,4,3] = [4,3,3], o CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 3trionic.pngCDel node n3.png = CDel 2 n3.pngCDel 2 n2.pngCDel node n1.pngCDel 3 n2.pngCDel 3 n3.pngCDel 3.pngCDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.png, generadors {0,1,2,3} en [3,4,3] amb el subgrup triònic [4,3,3] generadors {0,1,2,32123}. Per a grups hiperbòlics, [3,6,3] = [6,3[3]], i [4,4,3] = [4,4,4].

Subgrups triònics de simetria tetraedral[modifica]

Johnson va identificar dos subgrups trionics de [3,3]:[4]

  • Primer, un subgrup d'índex 3, [3,3] ≅ [2+,4], amb [3,3] (CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel label2.png) generadors {0,1,2}. També es pot escriure com [(3,3,2)] (CDel node.pngCDel split1.pngCDel 2.pngCDel branch h2h2.pngCDel label2.png) com a recordatori dels seus generadors {02,1}. Aquesta reducció de simetria és la relació entre el tetraedre i el disfenoide tetragonal, representant un estirament d'un tetràedre perpendicular a dues arestes oposades.
  • En segon lloc, identifica un subgrup d'índex 6 relacionat [3,3]Δ o [(3,3,2)]+ (CDel node h2.pngCDel split1.pngCDel 2.pngCDel branch h2h2.pngCDel label2.png), índex 3 de [3,3]+ ≅ [2,2]+, amb generadors {02,1021}, de [3,3] i els seus generadors {0,1,2}. Aquests subgrups també s'apliquen dins de grups més grans de Coxeter amb subgrup [3,3] amb totes les branques veïnes ordenades en parelles.

Aquests subgrups també s'apliquen dins de grups més grans de Coxeter amb subgrup [3,3] amb totes les branques veïnes ordenades en parelles.

Per exemple, [(3,3)+,4], [(3,3),4], i [(3,3)Δ,4] són subgrups [3,3,4], índex 2, 3 i 6 respectivament. Els generadors de [(3,3),4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2+,8], ordre 128, són {02,1,3} de [3,3,4] generadors {0,1,2,3}. I [(3,3)Δ,4] ≅ [[4,2+,4]], ordre 64, són generadors {02,1021,3}. També [3,4,3] ≅ [(3,3),4].

Els també relacionats [31,1,1] = [3,3,4,1+] són subgrups triònics: [31,1,1] = [(3,3),4,1+], ordre 64, i 1=[31,1,1]Δ = [(3,3)Δ,4,1+] ≅ [[4,2+,4]]+, ordre 32.

Inversió central[modifica]

Una inversió central, d'ordre 2, és operativament diferent per dimensió. El grup n = [2n-1] representa n miralls ortogonals en un espai n-dimensional, o un n-pla d'un subespai d'un espai dimensional superior. Els miralls del grup [2n-1] són numerats 0 ... n-1. L'ordre dels miralls no importa en cas d'inversió. La matriu d'una inversió central és -I, la matriu identitat amb -1 a la diagonal.

A partir d'aquesta base, la inversió central té un generador com a producte de tots els miralls ortogonals. En la notació de Coxeter aquest grup d'inversió s'expressa afegint una alternança + a cada 2 branques. La simetria d'alternança està marcada als nodes del diagrama de Coxeter com a nodes oberts.

Un diagrama de Coxeter-Dynkin es pot marcar amb dues branques explícites que defineixen una seqüència lineal de miralls, nodes oberts i nodes doble obert compartits per mostrar l'encadenament dels generadors de reflexió.

Per exemple, [2+,2] i [2,2+] són subgrups d'índex 2 de [2,2], CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png, i són representats com CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node.png (o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel node.png) i CDel node.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png (o CDel node.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) amb generadors {01,2} i {0,12} respectivament. El seu subgrup comú d'índex 4 és [2+,2+], i és representat com CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png (o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png), amb el CDel node h4.png doble obert marcant un node compartit en les dues alternances i un únic generador per rotoreflexió {012}.

Dimensió Notació de Coxeter Ordre Diagrama de Coxeter Operació Generador
2 [2]+ 2 CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png 180° rotació, C2 {01}
3 [2+,2+] 2 CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png rotoreflexió, Ci o S2 {012}
4 [2+,2+,2+] 2 CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png doble rotació {0123}
5 [2+,2+,2+,2+] 2 CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png doble reflexió rotativa {01234}
6 [2+,2+,2+,2+,2+] 2 CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png triple rotació {012345}
7 [2+,2+,2+,2+,2+,2+] 2 CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png triple reflexió rotativa {0123456}

Rotacions i reflexos rotatius[modifica]

Les rotacions i els reflexos rotatius estan construïts per un producte d'un sol generador de tots els reflexos d'un grup prismàtic, [2p]×[2q]× ... on mcd (p,q)=1, són isomorfs al grup cíclic abstracte Zn, d'ordre n=2pq.

Les rotacions dobles en 4 dimensions, [2p+,2+,2q+] (amb mcd (p,q)=1), que inclouen un grup central, i són expressades per Conway com ±[Cp×Cq],[5] ordre 2pq. A partir del diagrama de Coxeter CDel node n0.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node n3.png, els generadors {0,1,2,3}, el generador únic de [2p+,2+,2q+], CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h2.png és {0123}. El semigrup [2p+,2+,2q+]+, o graf cíclic,[(2p+,2+,2q+,2+)], CDel 3.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h4.pngCDel 2x.png , és expressat per Conway com [Cp×Cq], ordre pq, amb generador {01230123}.

Si hi ha un factor comú f, la doble rotació es pot escriure com 1f [2pf+,2+,2qf+] (amb mcd (p,q)=1), generador {0123}, ordre 2pqf. Per exemple, p=q=1, f=2, 12[4+,2+,4+] és d'ordre 4. I 1f [2pf+,2+,2qf+]+, generador {01230123}, és d'ordre pqf. Per exemple, 12[4+,2+,4+]+ és d'ordre 2, una inversió central.

Exemples
Dimensió Notació de Coxeter Ordre Diagrama de Coxeter Operació Generador Subgrup directe
2 [2p]+ 2p CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h2.png Rotació {01} [2p]+2 Rotació simple:
[2p]+2 = [p]+
ordre p
3 [2p+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png rotoreflexió {012} [2p+,2+]+
4 [2p+,2+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png doble rotació {0123} [2p+,2+,2+]+
5 [2p+,2+,2+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png doble reflexió rotativa {01234} [2p+,2+,2+,2+]+
6 [2p+,2+,2+,2+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png triple rotació {012345} [2p+,2+,2+,2+,2+]+
7 [2p+,2+,2+,2+,2+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png triple reflexió rotativa {0123456} [2p+,2+,2+,2+,2+,2+]+
4 [2p+,2+,2q+] 2pq CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h2.png doble rotació {0123} [2p+,2+,2q+]+ Doble rotació:
[2p+,2+,2q+]+
ordre pq
mcd(p,q)=1
5 [2p+,2+,2q+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png doble reflexió rotativa {01234} [2p+,2+,2q+,2+]+
6 [2p+,2+,2q+,2+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png triple rotació {012345} [2p+,2+,2q+,2+,2+]
7 [2p+,2+,2q+,2+,2+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png triple reflexió rotativa {0123456} [2p+,2+,2q+,2+,2+,2+]+
6 [2p+,2+,2q+,2+,2r+] 2pqr CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel r.pngCDel node h2.png triple rotació {012345} [2p+,2+,2q+,2+,2r+]+ Triple rotació:
[2p+,2+,2q+,2+,2r+]+
ordre pqr
mcd(p,q,r)=1
7 [2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+] CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel r.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png triple reflexió rotativa {0123456} [2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+]+

Subgrups comutadors[modifica]

Els grups simples amb només elements de branques d'ordre imparell tenen només un subgrup de rotació / translació d'ordre 2, que també és el subgrup commutador, per exemple [[3,3]+, [3,5]+, [3,3,3]+, [3,3,5]+. Per a altres grups de Coxeter amb branques d'ordre parell, el subgrup commutator té l'índex 2c, on c és el nombre de subgrafes desconnectats quan s'eliminen totes les branques d'ordre parell.[6] Per exemple, [4,4] té tres nodes independents al diagrama de Coxeter quan s'eliminen els «4», de manera que el seu subgrup de commutador és l'índex 23, i pot tenir diferents representacions, totes amb tres operadors +: [4+,4+]+, [1+,4,1+,4,1+], [1+,4,4,1+]+, o [(4+,4+,2+)]. Es pot fer servir una notació general amb +c com a exponent de grup, com [4,4]+3.

Exemples de subgrups[modifica]

Exemples de subgrups de rang 2[modifica]

Els grups de simetria diedral amb ordres parells tenen diversos subgrups. Aquest exemple mostra dos miralls generadors de [4] en vermell i verd, i mira a tots els subgrups per la meitat, la reducció de rang i els seus subgrups directes. El grup [4], CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.png té dos generadors de miralls 0 i 1. Cadascun genera dos miralls virtuals 101 i 010 per reflexió entre els altres.

Exemples de subgrups de rang 3 euclidians[modifica]

El grup [4,4] compta amb 15 petits índex de subgrups. Aquesta taula els mostra tots, amb un domini fonamental groc per a grups reflectants purs i alternant dominis blancs i blaus que es combinen per fer dominis rotatius. Les línies de mirall cian, vermell i verd corresponen als nodes de colors del diagrama de Coxeter. Els generadors de subgrups es poden expressar com a productes dels tres miralls originals del domini fonamental, {0,1,2}, que corresponen als 3 nodes del diagrama de Coxeter, CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.png. Un producte de dues línies de reflexió que s'entrecreuen fa una rotació, com {012}, {12} o {02}. Eliminar un mirall provoca dues còpies de miralls veïns, a través del mirall eliminat, com {010} i {212}. Dues rotacions en sèrie tallen l'ordre de rotació a la meitat, com {0101} o {(01)²}, {1212} o {(02)²}. Un producte dels tres miralls crea una transreflexió, com {012} o {120}.

Exemples de grups hiperbòlics[modifica]

El mateix conjunt de 15 petits subgrups existeix en tots els grups de triangles amb elements d'ordre parell, com [6,4] en el pla hiperbòlic:

Simetria ampliada[modifica]

La notació de Coxeter inclou una notació de doble claudàtor [[X]] per expressar la simetria automòrfica dins d'un diagrama de Coxeter. Johnson va afegir una opció alternativa, l'angle-claudàtor <[X]> o ⟨[X]⟩, com a opció equivalent al doble claudàtor per a distingir la simetria del diagrama a través dels nodes enfront de les branques. Johnson també va afegir un modificador de simetria de prefix [Y[X]], on Y pot representar la simetria del diagrama de Coxeter de [X], o bé la simetria del domini fonamental de [X].

Grup de
paper pintat
Simetria del
triangle
Simetria
estesa
Diagrama
estès
Grup
estès
Cel·les
p3m1 (*333) a1 Triangle symmetry1.png [3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png (cap)
p6m (*632) i2 Triangle symmetry3.png [[3[3]]] ↔ [6,3] CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel branch c2.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png 1, CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png 2
p31m (3*3) g3 Triangle symmetry2.png [3+[3[3]]] ↔ [6,3+] (cap)
p6 (632) r6 Triangle symmetry4.png [3[3[3]]]+ ↔ [6,3]+ CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel branch c1.pngCDel node c1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png (1)
p6m (*632) [3[3[3]]] ↔ [6,3] CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png 3
En el pla euclidià, el grup de Coxeter , [3[3]] es pot estendre de dues maneres al grup de Coxeter , [6,3] i relaciona les cel·les uniformes com a diagrames anellats.

Per exemple, en 3D aquests esquemes de geometria equivalents rectangle i ròmbic de : CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png i CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png, el primer es va duplicar amb claudàtors, [[3[4]]] o dos cops com a [2[3[4]]], amb simetries superiors [2], ordre 4. Per diferenciar el segon, es fan servir els angles-claudators per a duplicar, ⟨[3 [4] ]⟩ i dues vegades duplicat per ⟨2 [3 [4] ]⟩, també amb una simetria [2] diferent, d'ordre 4. Finalment, una simetria completa on els 4 nodes són equivalents es pot representar amb [4[3[4]]], amb l'ordre 8, simetria [4] del quadrat. Però tenint en compte el domini disfenoide tetragonal fonamental, la simetria estesa [4] del gràfic quadrat es pot marcar de manera més explícita com [(2+,4)[3[4]]] o [2+,4[3[4]]].

Hi ha més simetria a la cíclica i a les branque dels diagrames , , i . té ordre de 2n simetria d'un n-gon regular {n}, i està representat per [n[3[n]]]. i estan representats per [3[31,1,1]] = [3,4,3] i [3[32,2,2]] respectivament, mentre per [(3,3)[31,1,1,1]] = [3,3,4,3], amb el diagrama que conté la simetria d'ordre 24 del tetraedre, {3,3}. El grup hiperbòlic paracompacte = [31,1,1,1,1], CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, conté la simetria d'un 5-cell, {3,3,3}, que es representa per [(3,3,3)[31,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3].

Un asterisc superíndex * és efectivament una operació inversa, creant subgrups radicals eliminant la connexió de miralls imparells ordenats.[7]

Exemples:

Exemple de grups estesos i subgrups radicals
Grups estesos Subgrups radicals Diagrames de Coxeter Índex
[3[2,2]] = [4,3] [4,3*] = [2,2] CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.png = CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel nodeab c1.png 6
[(3,3)[2,2,2]] = [4,3,3] [4,(3,3)*] = [2,2,2] CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.png = CDel nodeab c1.pngCDel 2.pngCDel nodeab c1.png 24
[1[31,1]] = [[3,3]] = [3,4] [3,4,1+] = [3,3] CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.png 2
[3[31,1,1]] = [3,4,3] [3*,4,3] = [31,1,1] CDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png = CDel node c1.pngCDel branch3 c1.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c2.png 6
[2[31,1,1,1]] = [4,3,3,4] [1+,4,3,3,4,1+] = [31,1,1,1] CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c3.png 4
[3[3,31,1,1]] = [3,3,4,3] [3*,4,3,3] = [31,1,1,1] CDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png = CDel node c1.pngCDel branch3 c1.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png 6
[(3,3)[31,1,1,1]] = [3,4,3,3] [3,4,(3,3)*] = [31,1,1,1] CDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.png = CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png 24
[2[3,31,1,1,1]] = [3,(3,4)1,1] [3,(3,4,1+)1,1] = [3,31,1,1,1] CDel node c4.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png = CDel node c4.pngCDel branch3 c1.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.png 4
[(2,3)[1,131,1,1]] = [4,3,3,4,3] [3*,4,3,3,4,1+] = [31,1,1,1,1] CDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node c1.pngCDel branch3 c1.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c3.png 12
[(3,3)[3,31,1,1,1]] = [3,3,4,3,3] [3,3,4,(3,3)*] = [31,1,1,1,1] CDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.png = CDel node c3.pngCDel branch3 c1.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png 24
[(3,3,3)[31,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3] [3,4,(3,3,3)*] = [31,1,1,1,1] CDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.png = CDel node c1.pngCDel branch3 c1.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png 120
Grups estesos Subgrups radicals Diagrames de Coxeter Índex
[1[3[3]]] = [3,6] [3,6,1+] = [3[3]] CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel branch c2.png 2
[3[3[3]]] = [6,3] [6,3*] = [3[3]] CDel node c1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.png = CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel branch c1.png 6
[1[3,3[3]]] = [3,3,6] [3,3,6,1+] = [3,3[3]] CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel branch c3.png 2
[(3,3)[3[3,3]]] = [6,3,3] [6,(3,3)*] = [3[3,3]] CDel node c1.pngCDel 6.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.png = CDel node c1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch4 c1.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c1.png 24
[1[∞]²] = [4,4] [4,1+,4] = [∞]² = [∞]×[∞] = [∞,2,∞] CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c2.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.pngCDel 2.pngCDel branch c1-2.pngCDel labelinfin.png 2
[2[∞]²] = [4,4] [1+,4,4,1+] = [(4,4,2*)] = [∞]² CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c2.pngCDel 2.pngCDel branch c2.pngCDel labelinfin.png 4
[4[∞]²] = [4,4] [4,4*] = [∞]² CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 4sg.pngCDel node g.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel branch c1.pngCDel labelinfin.png 8
[2[3[4]]] = [4,3,4] [1+,4,3,4,1+] = [(4,3,4,2*)] = [3[4]] CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.pngCDel split2.pngCDel node c1.png = CDel nodeab c1.pngCDel splitcross.pngCDel nodeab c2.png 4
[3[∞]3] = [4,3,4] [4,3*,4] = [∞]3 = [∞,2,∞,2,∞] CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3s.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c2.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.png 6
[(3,3)[∞]3] = [4,31,1] [4,(31,1)*] = [∞]3 CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1.png 24
[(4,3)[∞]3] = [4,3,4] [4,(3,4)*] = [∞]3 CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 4g.pngCDel node g.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1.png 48
[(3,3)[∞]4] = [4,3,3,4] [4,(3,3)*,4] = [∞]4 CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.pngCDel 4.pngCDel node c2.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1-2.png 24
[(4,3,3)[∞]4] = [4,3,3,4] [4,(3,3,4)*] = [∞]4 CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 4g.pngCDel node g.png = CDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch c1.png 384

Si veiem els generadors, la doble simetria es veu com afegir un nou operador que mapeja posicions simètriques al diagrama de Coxeter, fent que alguns generadors originals siguin redundants. Per als grups 3D i els grups de punts 4D, Coxeter defineix un subgrup de dos índexs de [[X]], [[X]+], que ell defineix. com a producte dels generadors originals de [X] pel generador duplicat. Sembla semblant a [[X]]+, que és el subgrup quiral de [[X]]. Així, per exemple, els grups espacials 3D [[4,3,4]]+ (I432, 211) i [[4,3,4]+] (Pm3n, 223) són diferents subgrups de [[4,3,4]] (Im3m, 229).

Càlcul amb matrius de reflexió com a generadors de simetria[modifica]

Un grup Coxeter, representat pel diagrama de Coxeter CDel node n0.pngCDel p.pngCDel node n1.pngCDel q.pngCDel node n2.png, es dona la notació Coxeter com [p, q] per a les ordres de la branca. Cada node del diagrama de Coxeter representa un mirall, anomenat per convenció ρi (i la matriu Ri). Els generadors d'aquest grup [p, q] són reflexions: ρ0, ρ1, i ρ2. La subsimetria rotacional es dona com a productes de les reflexions: Per convenció, σ0,1 (i la matriu S0,1) = ρ0ρ1 representa una rotació de l'angle π/p, i σ1,2 = ρ1ρ2 és una rotació de l'angle π/q, i σ0,2 = ρ0ρ2 representa una rotació de l'angle π/2.

[p,q]+, CDel node h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel p.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel q.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel node h2.png, és un subgrup d'índex 2 representat per dos generadors de rotació, cadascun dels productes de dues reflexions: σ0,1, σ1,2 i que representen rotacions dels angles π/p, i π/q respectivament.

Amb una branca parella, [p+,2q], CDel node h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel p.pngCDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node n2.png o CDel node h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel p.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node n2.png, és un altre subgrup de l'índex 2, representat pel generador de rotació σ0,1 i ρ2 reflexional.

Amb branques parelles, [2p+,2q+], CDel node h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h2.png, és un subgrup d'índex 4 amb dos generadors, construït com a producte de les tres matrius de reflexió: Per convenció com a: ψ0,1,2 and ψ1,2,0, que són rotacions reflexives, que representen una reflexió i rotació o reflexió.

En el cas de grups de Coxeter afins com CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.png, o CDel node n0.pngCDel infin.pngCDel node n1.png, un mirall, normalment el darrer, es trasllada des de l'origen. Una translació d'un generador τ0,1 (i la matriu T0,1) es construeix com el producte de dues (o un nombre parell de) reflexions, inclosa la reflexió afí. Una transreflexió (reflexió més una translació) pot ser el producte d'un nombre senar de reflexionsφ0,1,2 (i la matriu V0,1,2), com el subgrup d'índex 4 CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.png: [4+,4+] = CDel node h2.pngCDel 3 n0.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel 4.pngCDel node h4.pngCDel 4.pngCDel node h2.png.

Un altre generador compost, per convenció com ζ (i matriu Z), representa la inversió, mapejant un punt a la seva inversa. Per a [4,3] i [5,3], ζ = (ρ0ρ1ρ2)h/2, on h és 6 i 10 respectivament, el número de Coxeter per a cada família. Per al grup de Coxeter 3D [p,q] (CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png), aquest subgrup és una reflexió rotativa [2+,h+].

Els grups de Coxeter es classifiquen segons el seu rang, sent el nombre de nodes del seu diagrama de Coxeter-Dynkin. L'estructura dels grups també es dona amb els seus tipus de grups abstractes: En aquest article, els grups dièdrics abstractes es representen com Dihn, i grups cíclics estan representats per Zn, with Dih1=Z2.

Rang 2[modifica]

Per exemple, en 2D, el grup de Coxeter [p] (CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png) està representat per dues matrius de reflexió, R0 i R1. La simetria cíclica [p]+ (CDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png) es representa mitjançant la matriu generadora de rotació S0,1.

[p], CDel node n0.pngCDel p.pngCDel node n1.png
Reflexions Rotació
Nom R0
CDel node n0.png
R1
CDel node n1.png
S0,1=R0×R1
CDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 p
Matriu

[2], CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel node n1.png
Reflexions Rotació
Nom R0
CDel node n0.png
R1
CDel node n1.png
S0,1=R0×R1
CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2
Matriu

[3], CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.png
Reflexions Rotació
Nom R0
CDel node n0.png
R1
CDel node n1.png
S0,1=R0×R1
CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 3
Matriu

[4], CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.png
Reflexions Rotació
Nom R0
CDel node n0.png
R1
CDel node n1.png
S0,1=R0×R1
CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 4
Matriu

Rang 3[modifica]

Els grups de Coxeter de rang 3 finits són [1,p], [2,p], [3,3], [3,4], i [3,5].

Per reflectir un punt a través d'un pla (que passa per l'origen), es pot utilitzar , on és la matriu identitat 3x3 i és el vector unitari tridimensional per al vector normal del pla. Si la norma L2 de and és unitat, la matriu de transformació es pot expressar com:

Simetria diedral[modifica]

El grup reflector finit tridimensional reductible té simetria diedral, [p,2], ordre 4p, CDel node n0.pngCDel p.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel node n2.png. Els generadors de reflexió són les matrius R0, R1, R2. R0²=R1²=R2²=(R0×R1)3=(R1×R2)3=(R0×R2)²=Identitat.

[p,2]+ (CDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png) està generat per de 2 a 3 rotacions: S0,1, S1,2.

[p,2], CDel node n0.pngCDel p.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel node n2.png
Reflexions Rotacions Rotoreflexions
Nom R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2
Grup CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2 p 2 2p
Matriu

Simetria tetraedral[modifica]

Línies de reflexió de [3,3] = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png

El grup reflector finit tridimensional més simple ireductible és la simetria tetraedral, [3,3], ordre 24, CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png. Els generadors de reflexió, d'una construcció D3=A3, són les matrius R0, R1, R2. R0²=R1²=R2²=(R0×R1)3=(R1×R2)3=(R0×R2)²=Identitat.

[3,3]+ (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) està generat per de 2 a 3 rotacions: S0,1, S1,2, i S0,2. Un subgrup triònic, isomórfic a [2+,4], ordre 8, és generat per S0,2 i R1.

Una rotoreflexió d'ordre 4 és generat per V0,1,2, el producte de les tres reflexions.

[3,3], CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png
Reflexions Rotacions Rotoreflexions
Nom R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2
Nom CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2 3 2 4
Matriu

(0,1,-1)n (1,-1,0)n (0,1,1)n (1,1,1)axial (1,1,-1)axial (1,0,0)axial

Simetria octaedral[modifica]

Línies de reflexió per a [4,3] = CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png

Un altre grup reflector irreductible en tres dimensions és la simetria octaedral, [4,3], ordre 48, CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png. Les matrius dels generadors de reflexió són R0, R1, R2. R0²=R1²=R2²=(R0×R1)4=(R1×R2)3=(R0×R2)²=Identitat.

La simetria octaèdrica quiral, [4,3]+, (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) es generat per de 2 a 3 rotacions: S0,1, S1,2, i S0,2. La simetria piritoedral [4,3 + ], [4,3]+, (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) es genera mitjançant la reflexió R0 i rotació S1,2.

Una rotoreflexió de sis plecs és generada per V0,1,2, el producte de les tres reflexions.

[4,3], CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png
Reflexions Rotacions Rotoreflexions
Nom R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2
Grup CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 6.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2 4 3 2 6
Matriu

(0,0,1)n (0,1,-1)n (1,-1,0)n (1,0,0)axial (1,1,1)axial (1,-1,0)axial

Simetria icosaedral[modifica]

Línies de reflexió de [5,3] = CDel node c2.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.png

Un grup reflexiu finit irreductible tridimensional és la simetria icosaèdrica, [5,3], ordre 120, CDel node n0.pngCDel 5.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png. Les matrius dels generadors de reflexió són R0, R1, R2. R0²=R1²=R2²=(R0×R1)⁵=(R1×R2)3=(R0×R2)²=Identitat.

[5,3]+ (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) es genera per de 2 a 3 rotacions: S0,1, S1,2, i S0,2.

Una rotoreflexió de deu plecs és generat per V0,1,2, el producte de les tres reflexions.

[5,3], CDel node n0.pngCDel 5.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png
Reflexions Rotacions Rotoreflexions
Nom R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2
Grup CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node h2.pngCDel 5.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 10.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2 5 3 2 10
Matriu
(1,0,0)n n (0,1,0)n (φ,1,0)axial (1,1,1)axial (1,0,0)axial

Rang 3 afí[modifica]

Un exemple simple de grup afí és [4,4] (CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.png) (p4m), que es pot donar per tres matrius de reflexió, construïdes com una reflexió a través de l'eix x (y=0), una diagonal (x=y), i la reflexió afí a través de la línia (x=1). [4,4]+ (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.png) (p4) és generat per S0,1 S1,2, i S0,2. [4+,4+] (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h4.pngCDel 4.pngCDel node h2.png) (pgg) es genera per una rotació de dos plecs S0,2 i transreflexió V0,1,2. [4+,4] (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node.png) (p4g) és generat per S0,1 i R3. El grup [(4,4,2+)] (CDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branch h2h2.pngCDel label2.png) (cmm), està generat per una rotació de dos plecs S1,3 i reflexió R2.

[4,4], CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.png
Reflexions Rotacions Rotoreflexions
Nom R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2
Grup CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h4.pngCDel 4.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2 4 2
Matriu

Rang 4[modifica]

Simetria hiperoctaedral o hexadecacòrica[modifica]

Un grup reflexiu finit irreductible de 4 dimensions és un grup hiperoctaedral (o un grup hexadecàric (per a 16-cell)), B4=[4,3,3], ordre 384, CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png. Les matrius dels generadors de reflexió són R0, R1, R2, R3. R0²=R1²=R2²=R3²=(R0×R1)4=(R1×R2)3=(R2×R3)3=(R0×R2)²=(R1×R3)²=(R0×R3)²=Identitat.

La simetria hiperoctaedral quiral, [4,3,3]+, (CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) és generada per de 3 a 6 rotacions: S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, i S0,3. La simetria hiperpiritoedral [4,(3,3)+], (CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) és generat per R0 reflexions i S1,2 i S2,3 rotacions.

Una doble rotació de vuit plecs és generada per W0,1,2,3, el producte de totes les quatre reflexions.

[4,3,3], CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
Reflexions Rotacions Rotoreflexions Doble rotació
Nom R0 R1 R2 R3 S0,1 S1,2 S2,3 S0,2 S1,3 S0,3 V1,2,3 V0,1,3 V0,1,2 V0,2,3 W0,1,2,3
Grup CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node n4.png CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h4.pngCDel 6.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 8.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2 2 4 3 2 4 6 8
Matriu

(0,0,0,1)n (0,0,1,-1)n (0,1,-1,0)n (1,-1,0,0)n

Simetria icositetracòrica[modifica]

Un grup reflexiu finit irreductible en 4 dimensions és el grup icositetracòric (per a 24-cell), F4=[3,4,3], ordre 1152, CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png. Les matrius dels generadors de reflexió són R0, R1, R2, R3. R0²=R1²=R2²=R3²=(R0×R1)3=(R1×R2)4=(R2×R3)3=(R0×R2)²=(R1×R3)²=(R0×R3)²=Identitat.

La simetria icositetracòrica quiral, [3,4,3]+, (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) és generada per de 3 a 6 rotacions: S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, id S0,3. El grup jònic disminuït [3,4,3+], (CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) és generat per R0 reflexions i S1,2 i S2,3 rotacions.

Una doble rotació de dotze plecs és generada per W0,1,2,3, el producte de totes les quatre reflexions.

[3,4,3], CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
Reflexions Rotacions
Nom R0 R1 R2 R3 S0,1 S1,2 S2,3 S0,2 S1,3 S0,3
Grup CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node n4.png CDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 2 2 2 2 3 4 3 2
Matriu

(-1,-1,-1,-1)n (0,0,1,0)n (0,1,-1,0)n (1,-1,0,0)n
[3,4,3], CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
Rotoreflexions Doble rotació
Nom V1,2,3 V0,1,3 V0,1,2 V0,2,3 W0,1,2,3
Grup CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h4.pngCDel 6.pngCDel node h2.png CDel node h2.pngCDel 12.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h4.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png
Ordre 6 12
Matriu

Simetria hipericosaedral[modifica]

La simetria hipericosaedral, [5,3,3], ordre 14400, CDel node n0.pngCDel 5.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png. Les matrius dels generadors de reflexió són R0, R1, R2, R3. R0²=R1²=R2²=R3²=(R0×R1)⁵=(R1×R2)3=(R2×R3)3=(R0×R2)²=(R0×R3)²=(R1×R3)²=Identitat.

[5,3,3]+ (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png) és generada per tres rotacions: S0,1 = R0×R1, S1,2 = R1×R2, S2,3 = R2×R3, etc.

[5,3,3], CDel node n0.pngCDel 5.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
Reflexions
Nom R0 R1 R2 R3
Grup CDel node n0.png CDel node n1.png CDel node n2.png CDel node n3.png
Ordre 2 2 2 2
Matriu
(1,0,0,0)n n (0,1,0,0)n n

Grups de rang 1[modifica]

Vegeu també: Grup de simetria unidimensional

En una dimensió, el grup bilateral [] representa una simetria especular única, Dih1 o Z2 abstracte, simetria d'ordre 2. Es representa amb el diagrama de Coxeter-Dynkin amb un sol node, CDel node.png. El grup d'identitat és el subgrup directe [ ]+, Z1, simetria d'ordre 1. El superíndex simpe + implica que s'ignorin reflexos de miralls alternatius, deixant el grup d'identitat en aquest cas més senzill. Coxeter va utilitzar un sol node obert per representar una alternança, CDel node h2.png.

Grup Notació de Coxeter Diagrama de Coxeter Ordre Descripció
C1 [ ]+ CDel node h2.png 1 Identitat
D1 [ ] CDel node.png 2 Grup de reflexió

Grups de rang 2[modifica]

Vegeu també: Grups puntuals en dues dimensions
Un hexàgon regular, amb arestes i vèrtexs marcats, té 8 simetries: [6], [3], [2], [1], [6]+, [3]+, [2]+, [1]+, amb [3] i [1] existents en dues formes, segons si els miralls són a les arestes o vèrtexs

En dues dimensions, el grup rectangular [2], abstracte D1² o D2, també es pot representar com a producte directe [ ]×[ ], sent el producte de dos grups bilaterals, representa dos miralls ortogonals, amb diagrama de Coxeter, CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png amb ordre 4. El 2 in [2] prové de la linealització dels subgrafs ortogonals del diagrama de Coxeter CDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png, com passa amb la branca explícita d'ordre 2. El grup ròmbic [2]+ (CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png), la meitat del grup rectangular, la simetria de reflexió puntual, Z2, ordre 2.

La notació de Coxeter permet un marcador de lloc 1 per a grups de rang inferior, de manera que [1] és el mateix que [ ], i [1+] o [1]+ és el mateix que [ ]+ i el diagrama de Coxeter CDel node h2.png.

El grup p-gonal complet [p], grup diedral Dp abstracte, (no-abelià per a p> 2), d'ordre 2p, és generat per dos miralls a angle π/p, representat pel diagrama de Coxeter CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png. El subgrup p-gonal [p]+, grup cíclic Zp, de ordre p', generat per un angle de gir π/p.

La notació de coxeter utilitza un doble claudàtor per representar un doble automorfisme de simetria afegint un mirall bisectant al domini fonamental. Per exemple, [[p]] afegeix un mirall bisectant a [p] i és isomòrfic a [2p].

En el límit, baixant a la primera dimensió, s'obté el grup apeirogonal complet quan l'angle tendeix a zero, de manera que [∞], abstractament, el grup diedral infinit D, representa dos miralls paral·lels i té un diagrama de Coxeter CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png. El grup apeirogonal [∞]+, CDel node h2.pngCDel infin.pngCDel node h2.png, abstractament el cíclic grup infitit Z, [[isomorfisme|isomorf] al grup additiu dels nombres enters, és generat per una sola translació diferent de zero.

En el pla hiperbòlic, hi ha un grup [iπ/λ], i un subgrup pseudogonal [iπ/λ]+, CDel node h2.pngCDel ultra.pngCDel node h2.png. Aquests grups existeixen en polígons regulars de cara infinita, amb una longitud d'aresta λ. Els miralls són tots ortogonals a una sola línia.

Grup Intl. Orbifold Coxeter Diagrama de Coxeter Ordre Descripció
Finit
Zn n n• [n]+ CDel node h2.pngCDel n.pngCDel node h2.png n Cíclic: rotacions de n-plecs. Grup abstracte Zn, el grup d'enters sota mòdul addicional n.
Dn nm *n• [n] CDel node.pngCDel n.pngCDel node.png 2n Dièdric: cíclic amb reflexos. Grup abstracte Dihn, el grup dièdric.
Afí
Z ∞• [∞]+ CDel node h2.pngCDel infin.pngCDel node h2.png Cíclic: Grup apeirogonal. Grup abstracte Z, el grup d'enters sota addició.
Dih ∞m *∞• [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png Dièdric: reflexos paral·lels. Grup dièdric infinit abstracte Dih.
Hiperbòlic
Z [πi/λ]+ CDel node h2.pngCDel ultra.pngCDel node h2.png Grup pseudogonal
Dih [πi/λ] CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png Grup pseudogonal complet

Grups de rang 3[modifica]

Vegeu també: Grups puntals en tres dimensions i Llista de grups de simetria esfèrica

Els grups puntals en 3 dimensions es poden expressar notació amb claudàtor relacionats amb els grups de coxeter de rang 3:

En tres dimensions, el grup ortoròmbic complet o ortorectangular [2,2], abstractament D2×D2, ordre 8, representa tres miralls ortogonals, (també representats pel diagrama de Coxeter com a tres punts separats CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png). També es pot representar com un producte directe [ ]×[ ]×[ ], però l'expressió [2,2] permet definir els subgrups:

Primer hi ha un subgrup semidirecte, el grup ortorhombic, [2,2+] (CDel node.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png o CDel node.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png), abstractament D1×Z2=Z2×Z2, d'ordre 4. Quan el superíndex + es dona a l'interior dels claudàtors, significa reflexions generades només es alternen els miralls adjacents (tal com es defineix en el diagrama de Coxeter, CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png). En general, els ordres de les branques veïnes amb el node + han de ser parell. En aquest cas [2,2+] i [2+,2] representen dos subgrups isomorfs diferents geomètricament.

Els altres subgrups són el grup pararòmbic [2,2]+ (CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.png o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png), també amb ordre 4, i finalment el grup central [2 + , 2 + ] (Fitxer:CDel node h2 .pngFitxer:CDel 2x .pngFitxer:CDel node h4 .pngFitxer:CDel 2x .pngCDel node h2.png o Fitxer:CDel node h2 .pngFitxer:CDel 3 .pngFitxer:CDel 2 .pngFitxer:CDel 3 .pngFitxer:CDel node h4 .pngFitxer:CDel 3 .pngFitxer:CDel 2 .pngFitxer:CDel 3 .pngCDel node h2.png) d'ordre 2

A continuació hi ha el grup orto-p-gonal complet, [2,p] (CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png), abstractament D1×Dp=Z2×Dp, d'ordre 4p, que representen dos miralls en un angle díedre π/p, i tots dos són ortogonals per a un tercer mirall. També es representa amb el diagrama de Coxeter com CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

El subgrup directe es denomina grup para-p-gonal, [2,p]+ (CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png or CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png), abstractament Dp, d'ordre 2p, i un altre subgrup és [2,p+] (CDel node.pngCDel 2.pngCDel node h2.pngCDel p.pngCDel node h2.png) abstractament D1×Zp, també de l'ordre 2p.

El grup giro-p-gonal complet, [2+,2p] (CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel p.pngCDel node.png), abstractament D2p, d'ordre 4p. El grup gyro-p- gonal, [2+,2p+] (CDel node h2.pngCDel 2x.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h2.png o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel 2.pngCDel 3.pngCDel node h4.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h2.png), abstractament Z2p, d'ordre 2p és un subgrup de [2+,2p] i [2,2p+].

Els grups polièdrics es basen en la simetria de sòlids platònics: el tetraedre, octaedre, cub, icosaedre i dodecaedre, amb símbol de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} i {5,3} respectivament. Els grups de Coxeter són: [3,3] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png), [3,4] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png), [3,5] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png), anomenats simetria tetraedral, simetria octaedral i simetria icosaedral, amb ordres de 24, 48 i 120.

La simetria piritoedral, [3+,4] és un subgrup d'índex 5 de la simetria icosaedral, [5,3

En totes aquestes simetries, es poden eliminar reflexions alternatives produint la rotació tetaedral [3,3]+(CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.png), octaedral [3,4]+ (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h2.png i icosaedral [3,5]+ (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 5.pngCDel node h2.png) grups d'ordre 12, 24 i 60. El grup octaedral també té un subgrup d'índex 2 únic anomenat grup de simetria piritoedral, [3+,4] (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node.png o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel 4.pngCDel node.png), d'ordre 12, amb una barreja de simetria rotacional i reflexiva. La simetria piritoedral també és un subgrup d'índex 5 de la simetria icosaedral: CDel node n0.pngCDel 5.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.png --> CDel 2 n0.pngCDel node n1.pngCDel 3 n0.pngCDel 4.pngCDel node h2.pngCDel 3 n1.pngCDel 3 n2.pngCDel node h2.png, amb un mirall virtual '1 a través de 0, {010} i de rotació de tres plecs {12}.

El grup tetradral, [3,3] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png), té un doble claudàtor [[ 3,3]] (que es pot representar amb nodes de colors CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.png), mapejant els primers i últims miralls els uns als altres, i això produeix el [3,4] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png o el grup CDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.png). El subgrup [3,4,1+] (CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 4.pngCDel 2.pngCDel node h2.png o CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png) és el mateix que [3,3], i [3+,4,1+] (CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 2.pngCDel 4.pngCDel 2.pngCDel node h2.png o CDel node h2.pngCDel 3.pngCDel node h2.pngCDel 4.pngCDel node h0.png) és el mateix que [3,3]+.