Notació de Landau

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En matemàtica, la Notació de Landau , també anomenada "o minúscula" i "O majúscula", és una notació per a la comparació asimptòtica de funcions, la qual cosa permet establir la cota inferior asimptòtica, la cota superior asimptòtica i la cota ajustada asimptòtica. Anomenada així per Edmund Landau, qui va desenvolupar la teoria.

Definició[modifica]

La notació de Landau es defineix de la següent manera:

Si f, g són funcions complexes definides en un entorn d'un punt , aleshores

  • quan si i només si hi ha un tal que per a tot en un entorn de .
  • quan si i només si per tot hem de per a tot en un entorn de .

Una versió una mica més restrictiva però més manejable que la definició anterior és la següent:

Siguin , dues funcions definides per i sigui . Els símbols

,

signifiquen respectivament que quan , i que està tancat per prou gran. La mateixa notació és usada quan tendeix a un límit finit o , o també quan tendeix al seu límit a través d'una seqüència discreta de valors. En particular, una expressió és o si aquesta expressió tendeix a zero o aquesta fitada respectivament.

Dues funcions i definides en un veïnatge d'un punt (finit o infinit) són cridades asimptòticament iguals si quan

Si les fraccions , estan acotades en un veïnatge de es diu que , són del mateix ordre quan

Propietats[modifica]

Context de les propietats

Siguin i suposem que és una funció definida sobre un interval finit o infinit i és integrable en qualsevol interval amb podem escriure

Sigui una successió de nombres i sigui

la mateixa notació serà utilitzada per altres lletres. Es tenen les següents propietats:

  1. Suposeu que , estan definides en i integrables en qualsevol , que i que quan . Si quan , aleshores també s'haurà de
  2. Siguin dues successions de nombres, aquesta última positiva. Si i , llavors
  3. Suposeu que la sèrie convergeix, que els 's són positius, i que . llavors
  4. Sigui una funció positiva, monòtona i finita definida per i sigui
    Llavors
    si decrementa, tendeix a un límit finit
    si s'incrementa,
  5. Sigui positiva, finita i monòtona per . Si es compleix s'incrementa i o s'incrementa i , llavors
    és asimptòticament igual a

Vegeu també[modifica]

Bibliografia[modifica]

  • Trigonometric Sèries vol 1 A. Zygmund