Notació multi-índex

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

 

La notació multi-índex és una notació matemàtica que simplifica les fórmules utilitzades en el càlcul multivariable, les equacions diferencials parcials i la teoria de les distribucions, generalitzant el concepte d’un índex enter en una N-pla ordenada d’índexs.

Definició i propietats bàsiques[modifica]

Un índex múltiple n- dimensional és una n - tupla

de nombres enters no negatius (és a dir, un element del conjunt n - dimensional de nombres naturals, denotat ).

Per a índexs múltiples i es defineix:

Suma i diferència per components
Ordre parcial
Suma de components (valor absolut)
Factorial
Coeficient binomial
Coeficient multinomial

on .

Potència
.
Derivada parcial d’ ordre superior

on (vegeu també 4 gradients ). De vegades la notació també s’utilitza.[1]

Algunes aplicacions[modifica]

La notació multi-índex permet l'extensió de moltes fórmules des del càlcul elemental fins al cas multivariable corresponent. A continuació en detallem alguns exemples. En tot el següent, (o ), , i (o ).

Teorema multinomial
Teorema multi-binomial

Tingueu en compte que, atès que x+y és un vector i α és un índex múltiple, l'expressió de l'esquerra és curta per (x1+y1)α1...(xn+yn)αn .

Fórmula de Leibniz

Per a funcions fluixes f i g

Sèrie de Taylor

Per a una funció analítica f en n variables es té

De fet, per a una funció prou suau, tenim l' expansió similar de Taylor

on l'últim terme (el que queda) depèn de la versió exacta de la fórmula de Taylor. Per exemple, per a la fórmula de Cauchy (amb resta integral), s'obté

Operador diferencial parcial

Un operador diferencial parcial d'ordre N lineal formal en n variables s'escriu com

Integració per parts

Per a funcions fluides amb suport compacte en un domini limitat un té

Aquesta fórmula s’utilitza per a la definició de distribucions i derivats febles.

Un teorema d’exemple[modifica]

Si són multiíndexs i , doncs

Demostració[modifica]

La demostració es desprèn de la regla de potència per a la derivada ordinària ; si α i β són a {0, 1, 2, . . .}, doncs

Suposem , , i . Llavors tenim això

Per a cada i de {1, . . ., n }, la funció només depèn de . A l’anterior, cada diferenciació parcial per tant, es redueix a la diferenciació ordinària corresponent . Per tant, de l'equació (1) se’n desprèn s'esvaeix si α i > β i per almenys un i a {1, . . ., n }. Si no és el cas, és a dir, si α ≤ β com a índexs múltiples, doncs

per cada i. el teorema segueix.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. Reed, M. Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I. Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980, p. 319. ISBN 0-12-585050-6. 
  • Aquest article incorpora material derivat d'un índex múltiple d'una potència a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Reconeixement / Compartir-Igual.