La notació multi-índex és una notació matemàtica que simplifica les fórmules utilitzades en el càlcul multivariable, les equacions diferencials parcials i la teoria de les distribucions, generalitzant el concepte d’un índex enter en una N-pla ordenada d’índexs.
Definició i propietats bàsiques
[modifica]
Un índex múltiple n- dimensional és una n - tupla

de nombres enters no negatius (és a dir, un element del conjunt n - dimensional de nombres naturals, denotat
).
Per a índexs múltiples
i
es defineix:
- Suma i diferència per components

- Ordre parcial

- Suma de components (valor absolut)

- Factorial

- Coeficient binomial

- Coeficient multinomial

on
.
- Potència
.
- Derivada parcial d’ ordre superior

on
(vegeu també 4 gradients). De vegades la notació
també s’utilitza.[1]
La notació multi-índex permet l'extensió de moltes fórmules des del càlcul elemental fins al cas multivariable corresponent. A continuació en detallem alguns exemples. En tot el següent,
(o
),
, i
(o
).
- Teorema multinomial

- Teorema multi-binomial

Tingueu en compte que, atès que x+y és un vector i α és un índex múltiple, l'expressió de l'esquerra és curta per (x1+y1)α1...(xn+yn)αn .
- Fórmula de Leibniz
Per a funcions fluixes f i g

- Sèrie de Taylor
Per a una funció analítica f en n variables es té

De fet, per a una funció prou suau, tenim l' expansió similar de Taylor

on l'últim terme (el que queda) depèn de la versió exacta de la fórmula de Taylor. Per exemple, per a la fórmula de Cauchy (amb resta integral), s'obté

- Operador diferencial parcial
Un operador diferencial parcial d'ordre N lineal formal en n variables s'escriu com

- Integració per parts
Per a funcions fluides amb suport compacte en un domini limitat
un té

Aquesta fórmula s’utilitza per a la definició de distribucions i derivats febles.
Si
són multiíndexs i
, doncs

La demostració es desprèn de la regla de potència per a la derivada ordinària ; si α i β són a {0, 1, 2, . . .}, doncs

Suposem
,
, i
. Llavors tenim això

Per a cada i de {1, . . ., n }, la funció
només depèn de
. A l’anterior, cada diferenciació parcial
per tant, es redueix a la diferenciació ordinària corresponent
. Per tant, de l'equació (1) se’n desprèn
s'esvaeix si α i > β i per almenys un i a {1, . . ., n }. Si no és el cas, és a dir, si α ≤ β com a índexs múltiples, doncs

per cada
i. el teorema segueix.
- ↑ Reed, M. Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I. Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980, p. 319. ISBN 0-12-585050-6.
- Aquest article incorpora material derivat d'un índex múltiple d'una potència a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Reconeixement / Compartir-Igual.