En càlcul vectorial, l'operador nabla és un operador diferencial vectorial representat amb el símbol nabla ∇. En coordenades cartesianes tridimensionals R3 amb coordenades (x, y, z), l'operador nabla es pot definir com:

En els sistemes de coordenades cilíndriques i esfèriques les expressions esdevenen més complexes i es detallen en la següent llista de fórmules de càlcul vectorial.
- Aquest article utilitza la notació estàndard ISO 80000-2, que reemplaça la ISO 31-11, pel sistema de coordenades esfèriques (altres fonts poden haver revertit la definició dels angles θ i φ):
- L'angle polar es denota amb la lletra grega θ: es tracta de l'angle entre l'eix positiu z i el radial del vector que connecta l'origen amb el punt en qüestió.
- L'angle azimutal es denota amb la lletra grega φ i és l'angle entre l'eix x positiu i la projecció del vector radial en el pla xy.
- La funció atan2(x,y) es pot utilitzar en comptes de la funció matemàtica arctan (y/x), atesos el seu domini i imatge. Mentre la clàssica funció arctan té una imatge de (−π/2, +π/2), atan2 es defineix amb una imatge de (−π, π].
Conversions de sistemes de coordenades[modifica]
Conversions entre sistemes de coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques
|
De
|
Cartesià
|
Cilíndric
|
Esfèric
|
A
|
Cartesià
|
N/A
|
|
|
Cilíndric
|
|
N/A
|
|
Esfèric
|
|
|
N/A
|
Conversions de vectors unitaris[modifica]
Conversió entre vectors unitaris en sistemes de coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques en termes de coordenades de destinació
|
Cartesià
|
Cilíndric
|
Esfèric
|
Cartesià
|
N/A
|
|
|
Cilíndric
|
|
N/A
|
|
Esfèric
|
|
|
N/A
|
Conversió entre vectors unitaris en sistemes de coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques en termes de coordenades de d'origen
|
Cartesià
|
Cilíndric
|
Esfèric
|
Cartesià
|
N/A
|
|
|
Cilíndric
|
|
N/A
|
|
Esfèric
|
|
|
N/A
|
Fórmules amb l'operador nabla[modifica]
Taula amb l'operador nabla en coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques
Operació
|
Coordenades cartesianes (x, y, z)
|
Coordenades cilíndriques (ρ, φ, z)
|
Coordenades esfèriques (r, θ, φ), on θ és l'angle polar i φ és l'angle azimutalα
|
Un camp vectorial A
|
|
|
|
Gradient ∇f
|
|
|
|
Divergència ∇ ⋅ A
|
|
|
|
Rotacional ∇ × A
|
|
|
|
Operador laplacià ∇²f ≡ ∆f
|
|
|
|
Vector laplacià ∇²A ≡ ∆A
|
|
|
|
Derivada materialα[1] (A ⋅ ∇)B
|
|
|
|
Tensor de divergència ∇ ⋅ T
|
|
|
|
Desplaçament diferencial dℓ
|
|
|
|
Normal d'àrea diferencial dS
|
|
|
|
Volum diferencial dV
|
|
|
|
- ^α Aquesta pàgina utilitza
per l'angle polar i
per l'angle azimutal, que és la notació habitual en física. La font que s'utilitza per aquestes fórmules utilitza
per l'azimut i
per l'angle polar, que és la notació habitual en matemàtiques. Per tal d'obternir les fórmules en notació matemàtica, canviï's
i
en les fórmules de la taula.
Normes de càlcul no trivials[modifica]
(Operador laplacià)




Derivació cartesiana[modifica]
Element infinitesimal en coordenades cartesianes
Les expressions per
i
s'obtenen de la mateixa manera.
Derivació cilíndrica[modifica]
Element infinitesimal en coordenades cilíndriques
Derivació esfèrica[modifica]
Element infinitesimal en coordenades esfèriques.