Ordinal successor

En teoria de conjunts, el successor d'un nombre ordinal $\alpha$ és el mínim nombre ordinal més gran que $\alpha$. Un nombre ordinal que és successor s'anomena ordinal successor. Els ordinals $1$, $2$ i $3$ són els tres primers ordinals successors i els ordinals $\omega +1$, $\omega +2$ i $\omega +3$ són els tres primers ordinals successors infinits.

Propietats

Tot ordinal diferent de 0 és un ordinal successor o un ordinal límit.

En el model de Von Neumann

Utilitzant els nombres ordinals de von Neumann (el model estàndard dels ordinals utilitzats en teoria de conjunts), el successor $S(\alpha )$ d'un nombre ordinal $\alpha$ ve donat per la fórmula

$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.$

Com que l'ordre dels nombres ordinals ve donat per $\alpha <\beta$ si i només si $\alpha \in \beta$, és immediat veure que no hi ha cap nombre ordinal entre $\alpha$ i $S(\alpha )$, i també és clar que $\alpha <S(\alpha )$.

Suma ordinal

L'operació successora es pot utilitzar per definir l'addició ordinal de forma rigorosa mitjançant recursivitat transfinita de la següent manera:

$\alpha +0=\alpha \!$

$\alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )$

i per a un ordinal límit $\lambda$

$\alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )$

En particular, $S(\alpha )=\alpha +1$. La multiplicació i l'exponenciació ordinal es defineixen de forma similar.

Topologia

Els punts successors i zero són els punts aïllats de la classe dels nombres ordinals respecte a la topologia de l'ordre.

Vegeu també

• Aritmètica ordinal