Ordre dens

En matemàtiques, un ordre parcial o total < en un conjunt $X$ es diu que és dens si, per a totes $x$ i $y$ en $X$ tals que $x<y$, hi ha una $z$ en $X$ tal que $x<z<y$. És a dir, per a dos elements qualsevol, un més petit que l'altre, hi ha un altre element entre ells. Per als ordres totals, això es pot simplificar a "per a dos elements diferents, hi ha un altre element entre ells", ja que tots els elements d'un ordre total són comparables.

Exemple

Els nombres racionals com a conjunt ordenat linealment són un conjunt densament ordenat en aquest sentit, igual que els nombres algebraics, els nombres reals, els racionals diàdics i les fraccions decimals. De fet, tot anell ordenat arquimedià que és extensió de l'anell dels nombres enters $\mathbb {Z} [x]$ és un conjunt densament ordenat.  

D'altra banda, l'ordre lineal dels nombres enters no és dens.

Unicitat dels ordres densos totals sense punts finals

Georg Cantor va demostrar que donats dos conjunts numerables densos totalment ordenats i no buits sense límits inferiors o superiors, aquests són isomorfs com a ordres parcials. Això fa que la teoria d'ordres lineals densos sense límits sigui un exemple d'una teoria $\omega$-categòrica on $\omega$ és l'ordinal límit més petit. Per exemple, existeix un isomorfisme d'ordre entre els nombres racionals i altres conjunts numerables densament ordenats, inclosos els racionals diàdics i els nombres algebraics. Les proves d'aquests resultats utilitzen el mètode back-and-forth.

La funció de signe d'interrogació de Minkowski es pot utilitzar per determinar els isomorfismes d'ordre entre els nombres algebraics quadràtics i els nombres racionals, i entre els racionals i els racionals diàdics .

Generalitzacions

Qualsevol relació binària $R$ es diu que és densa si, per a tot parell d'elements $x$ i $y$ relacionats a través de $R$, hi ha una $z$ tal que $x$ està $R$-relacionada amb $z$ i $z$ està $R$-relacionada amb $y$. Formalment:

$\forall x\forall y\exists z(xRy\rightarrow xRz\land zRy)$

Les condicions suficients perquè una relació binària $R$ en un conjunt $X$ sigui densa són:

• $R$ és reflexiva;
• $R$ és coreflexiva;
• $R$ és quasireflexiva;
• $R$ és euclidiana per l'esquerra o per la dreta; o
• $R$ és simètrica i semi-connexa i $X$ té almenys 3 elements.

Cap d'elles és necessària. Per exemple, hi ha una relació $R$ que no és reflexiva però sí que és densa, o bé, una relació no buida i densa no pot ser antitransitiva.

Un ordre parcial estricte $<$ és un ordre dens si i només si $<$ és una relació densa. Una relació densa que també és transitiva es diu que és idempotent .

Vegeu també

• Conjunt dens — un subconjunt d'un espai topològic el tancament del qual és l'espai sencer
• Dens en si mateix — un subconjunt $A$ d'un espai topològic tal que $A$ no conté un punt aïllat
• Semàntica de Kripke — una relació d'accessibilitat densa correspon a l'axioma $\Box \Box A\rightarrow \Box A$