Partícula en un potencial central

En mecànica quàntica, un potencial central és un potencial, en el qual l'energia potencial $V$ de cada partícula depèn només de la distància $r$ entre la partícula i el centre del potencial.

Cas general

Considerem una partícula de massa $m$ en un potencial central. La funció d'ona de la partícula ha de satisfer l'equació de Schrödinger independent del temps:

$$\nabla ^{2}\psi +{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\,(E-V)\,\psi =0$$

Com que un potencial central té simetria esfèrica, l'equació de Schrödinger es pot expressar en coordenades esfèriques, amb l'origen de coordenades al centre del potencial:

$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-V)\psi =0$$

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,

$$\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\,Y(\theta ,\varphi )$$

s'obté, substituint i multiplicant per $r^{2}/RY$:

$${\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}\,{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V)=-{\frac {1}{Y\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)-{\frac {1}{Y\,\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}$$

El membre de l'esquerra (part radial) depèn només de $r$ i el membre de la dreta (part angular) depèn només de $\theta$ i $\varphi$. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui $l(l+1)$. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

• Equació radial: ${\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}\,{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E-V\right)=l(l+1)$
• Equació angular: $-{\frac {1}{Y\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)-{\frac {1}{Y\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=l(l+1)$

Separació de l'equació angular

L'equació angular es pot multiplicar per $Y\sin ^{2}\theta$:

$$\sin \theta \,{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-l(l+1)\,Y\sin ^{2}\theta$$

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,

$$Y(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )$$

s'obté, substituint i dividint per $\Theta \Phi$:

$${\frac {\sin \theta }{\Theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+l(l+1)\,\sin ^{2}\theta =-{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}$$

El membre de l'esquerra (part polar) depèn només de $\theta$ i el membre de la dreta (part azimutal) depèn només de $\varphi$. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui $m^{2}$. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

• Equació polar: ${\frac {\sin \theta }{\Theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+l(l+1)\,\sin ^{2}\theta =m^{2}$
• Equació azimutal: $-{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=m^{2}$

Equació azimutal

La solució general de l'equació azimutal és:

$$\Phi _{m}=A\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }+B\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\varphi }$$

on $A$ i $B$ són constants arbitràries.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i periòdica en $\varphi$, la funció $\Phi$ també ha de ser univaluada i periòdica en $\varphi$, és a dir, $\Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )$. En aquest cas, el nombre $m$, que s'anomena nombre quàntic magnètic, ha de ser un nombre enter:

$$m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$$

Les solucions independents $\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\varphi }$ coincideixen amb les solucions independents $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }$ per a $m$ negatius. Per tant, podem prendre $B=0$ sense pèrdua de generalitat:

$$\Phi _{m}=A\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }$$

Normalitzant $\Phi _{m}$, s'obté:

$$1=\int _{0}^{2\pi }\Phi _{m}\Phi _{m}^{*}\,\mathrm {d} \varphi =\vert A\vert ^{2}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi =2\pi \,\vert A\vert ^{2}\quad \Longrightarrow \quad A={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$$

Per tant, les funcions azimutals normalitzades s'expressen com:

$$\Phi _{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{im\varphi }$$

Equació polar

L'equació polar es pot multiplicar per $\Theta /\sin ^{2}\theta$:

$${\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta =0$$

Fent el canvi de variables $x=\cos \theta$:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\sin ^{2}\theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}\right)+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta =0$$

Fent la substitució $\sin ^{2}\theta =1-x^{2}$:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}\right]+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\Theta =0$$

Finalment, aplicant la regla de la derivada d'un producte, s'obté l'expressió següent:

$$(1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Theta }{\mathrm {d} x^{2}}}-2x\,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\Theta =0$$

que és una equació associada de Legendre.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i contínuament diferenciable, la funció $\Theta$ també ha de ser univaluada i contínuament diferenciable. En aquest cas, el nombre $l$, que s'anomena nombre quàntic azimutal, ha de ser un nombre enter. A més, l'equació associada de Legendre té solucions no nul·les quan $|m|\leq l$, és a dir, quan

$$m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm l$$

La solució general de l'equació associada de Legendre per a $x=\cos \theta$ és:

$$\Theta _{lm}=C\,P_{l}^{m}(\cos \theta )+D\,Q_{l}^{m}(\cos \theta )$$

on $C$ i $D$ són constants arbitràries, i $P_{l}^{m}$ i $Q_{l}^{m}$ són les funcions associades de Legendre de primera i segona espècie, respectivament.

Bibliografia

• L. D. Landau i E. M. Lifshitz. Quantum mechanics. Non-relativistic theory. 2a ed. Oxford: Pergamon, 1965.
• E. Merzbacher. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: Wiley, 1998.
• L. I. Schiff. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1968.
• L. Pauling i E. B. Wilson. Introduction to quantum mechanics. Nova York: McGraw-Hill, 1935.