Pentació

De Viquipèdia
Els primers tres valors de l'expressió x[5]2. El valor de 3[5]2 és al voltant de 7.626 × 1012; els resultats per a valors de x més grans són massa grans per aparèixer a la gràfica.

En matemàtiques, la pentació és la hiperoperació que li segueix a la tetració i és anterior a la hexació. Es defineix com la iteració (repetició) de tetracions, tal com la tetració és la iteració de la potenciació.[1] És una operació binària definida amb dos nombres a i b, on a és «tetrada» a si mateix b vegades. Per exemple, usant la notació d'hiperoperació per a la pentació i tetració, vol dir «tetrar» 2 a si mateix 3 vegades, o . Això es pot després reduir a

Etimologia[modifica]

La paraula pentació (en anglès, «pentation») va ser encunyada per Reuben Goodstein en 1947 de les arrels penta- (cinc) i iteració. És part del seu esquema general per a nomenar les hiperoperacions.[2]

Notació[modifica]

No existeix un consens general per a la notació de la pentació; per tant hi ha diverses maneres d'escriure l'operació. No obstant això, unes s'usen més que altres i hi ha diferents avantatges entre una i altra forma d'ús.

  • La pentació es pot escriure com una hiperoperació com . En aquest format, pot ser interpretat com el resultat d'aplicar repetidament la funció , per repeticions, començant amb el número 1. De forma anàloga, , la tetració, representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció , per repeticions, començant amb el número 1, i la pentació representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció , per repeticions, començant amb el número 1.[3] Aquesta serà la notació usada en la resta de l'article.
  • En la notació de fletxa de Knuth, es representa com o . En aquesta notació, representa la funció de potenciació i representa la tetració. L'operació pot adaptar fàcilment la hexació afegint una altra fletxa.
  • En la notació de fletxes encadenades de Conway, [4]
  • Una altra notació proposta és , encara que aquesta no és extensible a hiperoperacions de major ordre.[5]

Exemples[modifica]

Els valors de la funció de pentació també poden ser obtinguts dels valors en la quarta filera de valors en una variant de la funció d'Ackermann: si es defineix com la recurrència d'Ackermann  amb les condicions inicials  i , llavors .[6]

Com la tetració, la seva operació base, no ha estat estesa a exponents no-enters, la pentació  actualment només està definida per a valors enters de a i b on i , i uns pocs valors enters addicionals que podrien estar únicament definits. Com totes les hiperoperacions d'ordre 3 i més grans, la pentació té els següents casos trivials (identitats) que són veritables per a tots els valors d' a i b en el seu domini:

Addicionalment, es pot definir:

A més dels casos trivials a dalt exposats, la pentació genera nombres extremadament grans molt ràpidament tal que només hi ha uns pocs casos no-trivials que produeixen nombres que poden ser escrits en notació convencional, com es mostra a continuació:

  • (es mostra aquí en notació d'exponents iterats, ja que és massa gran per ser escrit en notació convencional. Cal notar que )
  • (un nombre amb més de dígits)
  • (un nombre amb més de dígits)

Extensió a números negatius o zero[modifica]

Mitjançant l'ús del superlogaritme, es pot definir quan b és negatiu o zero per a un nombre limitat de valors de b. Per tant, per a tots els valors enters estrictament positius de a, la pentació negativa es defineix de la manera següent:

  • si a > 1.
  • si a > 1.
  • si a > 1.

Pel que fa als valors negatius de a, només pot donar lloc a una extensió. En aquest cas, segons els valors de l'enter positiu b, els tres valors possibles que obtenim són indicats de la següent manera:

  • si b és congruent amb 1 mod 3.
  • si b és congruent amb 2 mod 3.
  • si b és congruent amb 0 mod 3.

Referències[modifica]

  1. Oettinger, Anthony G.; Aiken, Howard «Retiring computer pioneer» (en anglès). Communications of the ACM, 5(6), pàg. 298–299. DOI: 10.1145/367766.367776. ISSN: 0001-0782.
  2. «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (en anglès). Journal of Symbolic Logic, 12(4), 02-07-2007, pàg. 123–129. ISSN: 0022-4812.
  3. Knuth, Donald E. «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness» (en anglès). Science, 194(4271), 17-12-1976, pàg. 1235–1242. DOI: 10.1126/science.194.4271.1235. ISSN: 0036-8075. PMID: 17797067.
  4. Conway, John Horton; Guy, Richard. The Book of Numbers. Springer, 1996, p. 61. ISBN 9780387979939. 
  5. [enllaç sense format] http://www.tetration.org/Tetration/index.html
  6. Nambiar «Ackermann functions and transfinite ordinals» (en anglès). Applied Mathematics Letters [Nova Delhi], 8(6), pàg. 51-53.

Vegeu també[modifica]